湖南长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期4月选科适应性检测试题 数学 .docx

长郡中学高一年级选科适应性检测 数 学 时量：120分钟 满分：150分 得分____________ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） ★1．复数 ，（ ， ）为实数的充要条件是（ ） A． B． 且 C． 且 D． 且 2．点 满足向量 ，则点 与 的位置关系是（ ） A．点 在线段 上 B．点 在线段 的延长线上 C．点 在线段 的反向延长线上 D．点 在直线 外 ★3．已知水平放置的四边形 的斜二测直观图为矩形 ，已知 ， ，则四边形 的面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量 ， 为单位向量， ，若 ，求 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．在 中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，若 且 ，则 的形状是（ ） A．有一个角是 的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 ★6．降水量是指水平地面上单位面积降雨水的深度，用上口直径为 ，底面直径为 ，深度为 的圆台形水桶（轴截面如图所示）来测量降水量，若在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的 ，则本次降雨的降水量为（精确到 ）（ ） A． B． C． D． 7．已知在 中， ， ，若满足上述条件的三角形有两个，则 的长度的范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在棱长为1的正方体 中，已知 ， 分别为线段 ， 上的动点， 为 的中点，则 的周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） ★9．在空间中，下列命题正确的是（ ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．若点 既在平面 内，又在平面 内，且 与 相交于直线 ，则点 在 上 D．用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台 10．下列说法中错误的是（ ） A． ， 为实数，若 ，则 与 共线 B．若 ， ，则 C．两个非零向量 ， ，若 ，则 与 垂直 D．若 ， ， 分别表示 ， 的面积，则 11．如图，在棱长为2的正方体 中，已知 ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，点 满足 ， ，下列说法正确的是（ ） A． 平面 B．若 ， ， ， 四点共面，则 C．若 ，点 在侧面 内，且 平面 ，则点 的轨迹长度为 D．若 ，由平面 分割该正方体所成的两个空间几何体为 和 ，某球能够被整体放入 或 ，则该球的表面积最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知 是虚数单位，则 ________． 13．已知正四棱锥的底面边长为4，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ，则四棱锥的最大体积为________． 14．在 中， ， ， ， 在边 上，延长 到点 ，使得 ，若 （ 为常数），则 的长度是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ★15．（本题满分13分） 已知 ， ， ． （1）求 ； （2）若 ，求向量 与 的夹角． 16．（本题满分15分） 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， 为 边上的一点， ，且 ________ ，求 的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ① 是 的平分线；② 为线段 的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 17．（本题满分15分） 如图，在四棱锥 中， 是该四棱锥的高， ， ， ， 为棱 上的一点，且 ． （1）证明： 平面 ； （2）求四棱锥 的体积． 18．（本题满分17分） 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． （1）若 ，求 ； （2）求 的最小值． 19．（本题满分17分） （1）对实系数的一元二次方程可以用求根公式求复数范围内的解，在复数范围解方程 ； （2）对一般的实系数一元三次方程 （ ） ，由于总可以通过代换 消去其二次项，就可以变为方程 ．在一些数学工具书中，我们可以找到方程 的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J. Cardan）的名字命名的． 卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程 可以变形为 ，把未知数 写成两数之和 ，再把等式 的右边展开，就得到 ，即 ．将上式与 相对照，得到 把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方， 并把 与 看成未知数，解得 于是，方程 一个根可以写成 ． 阅读以上材料，求解方程 ． 长郡中学高一年级选科适应性检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D C D D B B ABC AB ACD 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．A 2．C【解析】 ， ， ， 点 在线段 的反向延长线上．故选：C． 3．D【解析】因为 ， ，取 的中点 为坐标原点，以 为 轴建立坐标系 如左图， 因为斜二测直观图为矩形 ， ， ， 所以 ， 可得原图 中（右图）， ， ， 所以四边形 的面积为 ． 故选：D． 4．C【解析】由向量的夹角公式，可得 ．故选：C． 5．