北京东城区2024届高三下学期5月二模试题 数学(含参考答案)

北京市东城区2023-2024学年度第二学期高三综合练习（二） 数 学 2024.5 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 ， ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） （2）下列函数中，在区间 上单调递减的是 （ ） （A） （B） （C） （D） （3）在 中， ， ， ，则 （ ） （A）1 （B） （C） （D）2 （4）已知双曲线 过点 ，且一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的方程为 （ ） （A） （B） （C） （D） （5）直线 与圆 交于 ， 两点，若圆上存在点 ，使得 为等腰三角形，则点 的坐标可以为 （ ） （A） （B） （C） （D） （6）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放 入 一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为 （ ） （A） （B） （C） （D） （7）已知函数 与直线 交于 ， 两点，则 所在的区间为 （ ） （A） （B） （C） （D） （8）已知平面向量 ， ， ， 是单位向量，且 ，则 “ ” 是 “ ” 的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为 ，其中 表示振幅，响度与振幅有关； 表示最小正周期， ，它是物体振动一次所需的时间； 表示频率， ，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率 ： 音 宫 商 角 徵 羽 频率 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔 个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在 上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是 （ ） （A）宫 （B）商 （C）角 （D） 徵 （10）设无穷正数数列 ，如果对任意的正整数 ，都存在唯一的正整数 ，使得 ，那么称 为内和数列，并令 ，称 为 的伴随数列，则 （ ） （A）若 为等差数列，则 为内和数列 （B）若 为等比数列，则 为内和数列 （C）若内和数列 为递增数列，则其伴随数列 为递增数列 （D）若内和数列 的伴随数列 为递增数列，则 为递增数列 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）在 的展开式中，常数项为 ________.（用数字作答） （12）若复数 满足 .则在复平面内， 对应的点的坐标是 ________. （13）设函数 则 ________，不等式 的解 集是 ________. （14）如图，在六面体 中，平面 平面 ，四边形 与四边形 是两个全等的矩形. ， ， 平面 . ， ， ，则 ________.该六面体的任意两个顶点 间距离的最大值为 ________. （15）已知平面内点集 ， 中任意两个不同点之间的距离都不相等.设集合 ， .给出 以下四个结论： ① 若 ，则 ； ② 若 为奇数，则 ； ③ 若 为偶数，则 ； ④ 若 ，则 . 其中所有 正 确结论的序号是 ________. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题14分） 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，平面 平面 . （ Ⅰ ）求证： ； （ Ⅱ ）若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值. （17）（本小题13分） 已知函数 的部分图象如图所示. （ Ⅰ ）求 的值； （ Ⅱ ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，并求函数 在 上的最大值和最小值. 条件 ① ：函数 是奇函数； 条件 ② ：将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象； 条件 ③ ： . 注：如果选择的条件不符合要求，第（ Ⅱ ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. （18）（本小题13分） 北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区，其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书 ・ 北京人口发展研究报告（2023）》显示，2022年北京市常住人口为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常住人口数量如下表所示： 行政区 东城区 西城区 朝阳区 丰台区 石景山区 海淀区 门头沟区 房山区 城镇人口（万人） 70.4 110 343.3 199.9 56.3 305.4 36.2 102.6 乡村人口（万人） 0 0 0.9 1.3 0 7 3.4 28.5 行政区 通州区 顺义区 昌平区 大兴区 怀柔区 平谷区 密云区 延庆区 城镇人口（万人） 137.3 87.8 185.9 161.6 32.8 27.9 34.9 20.5 乡村人口（万人） 47 44.7 40.8 37.5 11.1 17.7 17.7. 13.9 （ Ⅰ ）在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率； （ Ⅱ ）若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为 ，求 的分布列及数学期望 ； （ Ⅲ ）记2022年这16个区