河北石家庄市第二中学2022-2023学年高三下学期3月月考试题 数学 (含参考解析)

河北 石家庄二中202 3届 高三年级数学 3 月考试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题 ( 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . ) 1．已知集合 ， ，则 （      ） A． B． C． D． 2．在复平面内， 对应的点分别为 ，则 对应的点为（      ） A． B． C． D． 3 ．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列 可以用如下方法定义： ，且 ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，则数列 的前2023项的和为（      ） A．2023 B．2024 C．2696 D．2697 4 ．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于点 ，点 在 的准线上，若 为等边三角形，则 （     ） A． B．6 C． D．16 5 ． 在一次春节聚会上 ，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人 各 写了一 张 祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（      ） A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为 B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为 C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为 D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为 6 ．与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（      ） A． B． C． D． 7 ．设 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点，且 .若存在 ，使得 与 垂直，且 ，则 的最小值为 ( ) A． 1 B． C． 2 D． 8．若 ， ， ，则实数a，b，c后的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 ( 本小题共4小题，每小题5分，共2 0 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.) 9．已知函数 ，则（      ） A． 的值域为 B．直线 是曲线 的一条切线 C． 图象的对称中心为 D．方程 有三个实数根 10．在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为等边三角形， ，则（      ） A．平面 平面 B．直线 与 所成的角的余弦值为 C．直线 与平面 所成的角的正弦值为 D．该四棱锥外接球的表面积为 11．已知函数 图像过点 ，且存在 ，当 时， ，则（      ） A． 的周期为 B． 图像的一条对称轴方程为 C． 在区间 上单调递减 D． 在区间 上有且仅有4个极大值点 12．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线交 C 的右支于点 A ， B ，若 ，则（      ） A． B． C 的渐近线方程为 C． D． 与 面积之比为2∶1 三、填空题 13．若角 的始边是轴非负半轴，终边落在直线 上，则 ______. 1 4 ．在棱长为2的正方体 中，点 E ， F ， G 分别是线段 的中点，点 M 在正方形 内（含边界），记过 E ， F ， G 的平面为 ，若 ，则 的取值范围是______. 1 5 ．已知椭圆 的焦距为2，过椭圆 的右焦点 且不与两坐标轴平行的直线交椭圆 于 ， 两点，若轴上的点 满足 且 恒成立，则椭圆 离心率的取值范围为______. 16．若函数 只有一个极值点，则的取值范围是___________. 四 、解答题 ( 本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17． (本小题满分1 0 分) 已知 内角 所对的边分别为 ，面积为 ， 且 ，求： (1)求角 的大小； (2)求 边中线 长的最小值. 18．已知等比数列 的前 n 项和为 （ b 为常数）． (1)求 b 的值和数列 的通项公式； (2)记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 n 项和 ． 1 9 ．如图，三棱柱 中，侧面 为矩形， 且 为 的中点， ． 证明： 平面 ；(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值． 20 ．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为 . (1)当 时，求 ； (2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量 ，若其数学期望 和方差 均存在，则对任意正实数，有 .根据该不等式可以对事件“ ”的概率作出下限估计.为了至少有 的把握使发射信号“1”的频率在 与 之间，试估计信号发射次数的最小值. 21．已知双曲线 的实轴长为4，左､右顶点分别为 ，经过点 的直线与 的右支分别交于 两点，其中点 在轴上方.当 轴时， (1)设直线 的斜率分别为 ，求 的值； (2)若 ，求 的面积. 22． (本小题满分1 2 分) 已知函数 . (1)讨论 的单调性； (2)设 是两个不相等的正数，且 ，证明： . （答案 解析 ） 1．【答案】C【详解】因为 ， ， 因此， .故选：C. 2．【答案】B【详解】根据复数的几何意义， ，于是 ， 对应的点为： .故选：B 3 ．【答案】D【详解】因为 ，且 ，所以数列 为 ， 此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 为 ，是以6为周期的周期数列， 所以数列 的前2023项的和 ，故选：D 4 ．【答案】A【详解】因为 为等边三角形，所以 ， 又因为点 在 的准线