湖南益阳市2022-2023学年高三下学期4月月考数学试题 (含参考解析)

2022-2023 学年湖南省益阳市高三年级下学期 4 月教学质量检测数学试卷 1. 若复数 z 满足 ，则 (    ) A. B. C. 1 D. 5 2. 已知集合 ， ，则 为 (    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 3. 双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，相对于三角函数，双曲函数具有良好的可解性 . 现有双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 ，则 是 (    ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 周期函数 D. 在 R 上单调递减 4. 函数 的部分图象大致是 (    ) A. B. C. D. 5. 已知椭圆 的焦点为 ， ，直线 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点，当三角形 为直角三角形时，椭圆 C 的离心率 e 等于 (    ) A. B. C. D. 6. 金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由 8 个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为 ，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是 (    ) A. B. C. D. 7. 已知 ， ， ，则下列结论正确的是 (    ) A. B. C. D. 8. 已知直线 l 与曲线 相交，交点依次为 D 、 E 、 F ，且 ，则直线 l 的方程为 (    ) A. B. C. D. 9. 给定事件 A ， B ， C ，且 ，则下列选项正确的是 (    ) A. B. 若 ， 且 A ， B 互斥，则 A ， B 不可能相互独立 C. 若 ，则 A ， B 互为对立事件 D. 若 ，则 A ， B ， C 两两独立 10. 如图，矩形 ABCD 中， E 、 F 分别为 BC 、 AD 的中点，且 ， ，现将 沿 AE 向上翻折，使 B 点移到 P 点，则在翻折过程中，下列结论正确的是 (    ) A. B. 存在点 P ，使得 C. 存在点 P ，使得 D. 三棱锥 的体积最大值为 11. 如图，有一列曲线 ， ， ， ， ，且 是边长为 6 的等边三角形， 是对 进行如下操作而得到：将曲线 的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到 ，记曲线 的边长为 ，周长为 ，则下列说法正确的是 (    ) A. B. C. 在 中 D. 在 中 12. 定义在 上的函数 的导函数为 ， ， ， ，则下列不等式中一定成立的是 (    ) A. B. C. D. 13. 已知向量 ， ，且 ，则 __________. 14. 甲乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲乙中间有空位的概率为 __________. 15. 过抛物线 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A 、 B 两点，若 ， O 为坐标原点，则三角形 OAB 的面积为 __________. 16. 已知函数 ，若存在实数 ， 满足 ，且 ，则 的取值范围是 __________. 17. 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题 . ① ② ③ 的面积为 求角 A 的大小 ; 求 的取值范围 . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 . 18. 数列 的前 n 项的和为 ，已知 ， ，当 时， 求数列 的通项公式 设 ，求 的前 2 m 项和 19. 如图，在以 A ， B ， C ， D ， E ， F 为顶点的五面体中，四边形 ABFE 为菱形， ， ， ， 证明： 若 M 为线段 AD 的中点，求二面角 的余弦值 . 20. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了 100 名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图 1 为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图 2 为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图 . 若本次数学成绩在 110 分及以上视为优秀，将一个星期有 4 天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于 4 天视为“不经常整理” . 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 求图 1 中 m 的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数 ; 根据图 1 、图 2 中的数据，补全上方 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关 ? 用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机抽取 2 人进行座谈。求这 2 名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数 X 的分布列和数学期望 . 附： 21. 已知 分别为双曲线 的上、下焦点，其中 坐标为 点 是双曲线 上的一个点 . 求双曲线 的方程 ; 已知过点 的直线与 上支交于不同的 A 、 B 两点，在线段 AB 上取点 Q ，满足 ，证明：点 Q 总在某条定直线上 . 22. 已知函数 ， 若 对 成立，求实数 a 的取值范围 ; 若 ，函数 存在两个极值点 ， ，记 的最大值与最小值为 M ， m ，求 的值 . 答案和解析 1. 【答案】 C   【解析】 【分析】 本题考查了复数的模，涉及复数的除法运算，属于基础题 . 【解答】 解：因为 ， 所以 ， 所以 故选    2. 【答案】 C   【解析】 【分析】 本题考查了交集和补集混合运算，属基础题 . 【解答】 解： ，则 ， 因此， 或    3. 【答案】 A   【解析】 【分析】 本题考查函数的奇偶性，属于基础题 . 根据题意，依次判断即可 . 【解答】 解：由题可知： ，定义域为 R ，且 ， ，所以函数为奇函数 .