专题27.26 相似三角形几何模型-A型图（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

专题 27 . 26 相似三角形几何模型-A型图（知识讲解） 相似三角形A型图类型： 图一 图二 图三 图四 类型一、 平行A字型 1 ． 如图，在 △ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC ＝ AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ，点 E 是 AB 的中点，连接 EF ． 求证： △ AEF ∽△ ABD ； 填空： ① 若 BC ＝8， AC ＝5，则 EF ＝_________； ② 若四边形 BDFE 的面积为6，则 △ ABD 的面积为_________ ． 【答案】(1) 见分析 (2) ① ；② 8 【分析】 （1）首先判定 △ ADC 是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点 F 是 AD 的中点，然后得到 EF 是 △ ABD 的中位线，进而可证明 △ AEF ∽△ ABD ； （2）①因为 EF 是 △ ABD 的中位线，所以 BD =2 EF ，求出 BD 的长即可得到 EF 的长； ②根据（1）证得的平行可以判定 △ AEF ∽ ABD ，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求的 △ ABD 的面积． （1）证明：∵ CF 平分∠ ACB ，∴∠ ACF =∠ BCF ，又∵ DC = AC ，∴ CF 是 △ ACD 的中线，∴点 F 是 AD 的中点，又∵ E 是 AB 的中点，∴ EF 是△ ABD 的中位线，∴ EF ∥ BD ，∴△ AEF ∽△ ABD ； （2）解：①∵ EF 是△ ABD 的中位线，∴ EF = BD ，∵ BC =8， AC =5， DC = AC ，∴ BD = BC - CD =3，∴ EF =1.5，故答案为1.5；②∵△ AEF ∽△ ABD ，∴ S △ AEF ： S △ ABD =1：4，∴ S △ AEF ： S 四 边 形 BDFE =1：3，∵四边形 BDFE 的面积为6，∴ S △ AEF =2，∴ S △ ABD = S △ AEF + S 四 边 形 BDFE =2+6=8，故答案为：8． 【点拨】 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证 EF 为中位线， S △ AEF ： S △ ABD =1：4． 举一反三 【变式1】 如图，点 D ， E 在 BC 上，且 ,求证： 【分析】利用平行关系，找出对应角相等，即可证明相似． 证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ∴ ． 【点拨】 本题考查相似三角形的判定，解题关键找到需要的条件． 【变式 2 】 如图，在△ ABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在 AB 、 BC 、 AC 边上， DE ∥ AC ，∠ DEF ＝∠ A ．求证：△ BDE ∽△ EFC ． 【分析】根据 ，得出 ，根据 可判断 ， 可证 ． 证明 ： ， ， 又 ， ， ， ， ． 【点拨】 本题考查平行线性质，三角形相似判定，掌握平行