专题27.29 相似三角形几何模型-X型图（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

专题 27 . 29 相似三角形几何模型-X型图（知识讲解） 图一 图二 图三 类型一、 平行X字型（也称为8字型） 1 ． 如图，在 中，点 ， 分别在边 、 上， 与 相交于点 ，且 ， ， ．求证： ． 【分析】利用比例线段来证明相似三角形即可． 解： ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】 本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 举一反三 【变式1】 如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么? 【答案】△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE；理由 见分析 . 【分析】根据两个三角形的两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形证明即可． 解： △AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE． 理由如下：∵∠2＝∠3，∠AFD＝∠EFB ∴△AFD∽△EFB， ∴∠B＝∠D． ∵∠1＝∠2， ∴ ， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE． 【点拨】 本题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理，本题用到了两组角对应相等的两个三角形互为相似三角形． 【变式 2 】 如图，直线 a∥b ，点 M 、 N 分别为直线 a 和直线 b 上的点，连接 M ， N ，∠1＝70°，点 P 是线段 MN 上一动点，直线 DE 始终经过点 P ，且与直线 a ， b 分别交于点 D 、 E ，设∠ NPE ＝ α ． （1）证明△ MPD ∽△ NPE ． （2）当△ MPD 与△ NPE 全等时，直接写出点 P 的位置． （3）当△ NPE 是等腰三角形时，求 α 的值． 【答案】（1） 见分析 ；（2）点 P 是 MN 的中点；（3）40° 或70° 或55° 【分析】 (1)利用相似三角形的判定定理证明即可； (2)根据全等三角形对应边相等得到 MP ＝ NP ，即点 P 是 MN 的中点； (3)需要分类讨论： PN ＝ PE 、 PE ＝ NE 、 PN ＝ NE ，再根据三角形内角和计算即可． (1)证明：∵ a∥b ， ∴△ MPD ∽△ NPE ． (2)∵ a∥b ， ∴∠ MDP ＝∠ NEP ， ∴当△ MPD 与△ NPE 全等时， MP ＝ NP ，即点 P 是 MN 的中点； (3)∵ a∥b ， ∴∠1＝∠ PNE ＝70°， ①若 PN ＝ PE 时， ∴∠ PNE ＝∠ PEN ＝70°． ∴ a ＝180°﹣∠ PNE ﹣∠ PEN ＝180°﹣70°﹣70°＝40°． ∴∠ a ＝40°； ②若 EP ＝ EN 时，则 a ＝∠ PNE ＝70°； ③若 NP ＝ NE 时，则∠ PEN ＝ α ，此时2 α ＝180°﹣∠ PNE ＝110°， ∴ α ＝∠ PEN ═55°； 综上所述， α 的值是40° 或70° 或55°． 【点拨】 本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟知相关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论． 类 型二 、 非平行X字型（也称为反8字型） 2 ． 在