安徽黄山市2024届高三下学期第一次质量检测（一模） 数学 (含参考解析)

黄山市 2024 届高中毕业班第一次质量检测 数学试题 （考试时间： 120 分钟 满分： 150 分） 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2 ．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效 . 3 ．非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区战内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线 的焦点为 ，则 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知 是以 为公比的等比数列， ， ，则 （ ） A B. C. D. 4. 已知 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 2024 年是安徽省实施 “ ” 选科方案后的第一年新高考，该方案中的 “2” 指的是从政治、地理、化学、生物 4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（ ） A B. C. D. 6. 已知向量 ，满足 ，则向量 的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过点 与双曲线 的一条渐近线平行的直线 交 于 ，且 ，当 时，双曲线 离心率的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 如图，已知正方体 ，点 、 、 分别为棱 、 、 中点，下列结论正确的有（ ） A. 与 共面 B. 平面 平面 C. D. 平面 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若线性相关系数 越接近 ，则两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量 ， ，则 C. 若样本数据 、 、 、 的方差为 ，则数据 、 、 、 的方差为 D. 若事件 、 满足 ， ， ，则有 11. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．若 满足 ， 的图象关于直线 对称，且 ，则（ ） A. 是奇函数 B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 若复数 为纯虚数，则实数 的值为 _______ ． 13. 的展开式中 的系数为 _______ ． 14. 记 的内角 的对边分别为 ，其外接圆半径为 ，且 ，则角 大小为 _______ ，若点 在边 上， ，则 的面积为 _______ ． 四、解答题：本题共 5 小逐，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 在 处取值得极大值． （1） 求 的值； （2） 求 在区间 上的最大值． 16. 某校高三年级 名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是 、 、 、 、 、 ． （1） 求图中 的值，并根据频率分布直方图，估计这 名学生的这次考试数学成绩的第 百分位数； （2） 从这次数学成绩位于 、 的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取 人，再从这 人中随机抽取 人，该 人中成绩在区间 的人数记为 ，求 的分布列及数学期望． 17. 如图，四棱锥 ，平面 平面 为 中点． （1） 证明：平面 平面 ； （2） 求平面 与平面 夹角的正弦值． 18. 设点 、 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上任意一点，且 的最小值为 ． （1） 求椭圆 的方程； （2） 求椭圆 的外切矩形 的面积 的最大值． 19. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 ，规定 为数列 的一阶差分数列，其中 ，规定 为数列 的二阶差分数列，其中 ． （1） 数列 的通项公式为 ，试判断数列 是否为等差数列，请说明理由？ （2） 数列 是以 1 为公差 等差数列，且 ，对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求 的值； （3） 各项均为正数 数列 的前 项和为 ，且 为常数列，对满足 ， 的任意正整数 都有 ，且不等式 恒成立，求实数 的最大值． 黄山市 2024 届高中毕业班第一次质量检测 数学试题 （考试时间： 120 分钟 满分： 150 分） 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2 ．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效 . 3 ．非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区战内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集 ，则 （ ）