安徽黄山市屯溪第一中学2024届高三第二次模拟考试数学(含参考解析)

安徽省黄山市屯溪第一中学 2024 届高三第二次模拟考试 一、选择题：本大题共 8 题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，集合 ，则 ＝（　　） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 求出集合 A , B ，然后进行交集、补集的运算即可 . 【详解】 因为 集合 ，集合 ， 所以 ， . 故选： B. 2. 复数 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 化简即可得出 ，即可得出答案 . 【详解】 因为 ， 所以，复数 的虚部是 . 故选： D. 3. 若直线 与 之间的距离为 ，则 a 的值为（ ） A. 4 B. C. 4 或 D. 8 或 【答案】 C 【解析】 【分析】 将直线 化为 ，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可 . 【详解】 将直线 化为 ， 则直线 与直线 之间的距离 ， 根据题意可得： ，即 ，解得 或 ， 所以 a 的值为 或 . 故选： C 4. 如图，有一古塔，在 A 点测得塔底位于北偏东 方向上的点 D 处，在 A 点测得塔顶 C 的仰角为 ，在 A 的正东方向且距 D 点 30m 的 B 点测得塔底位于西偏北 方向上（ A ， B ， D 在同一水平面），则塔的高度 CD 约为（ ， ）（ ） A. 17.32m B. 14.14m C. 10.98m D. 6.21m 【答案】 B 【解析】 【分析】 在 中，根据正弦定理可求出 . 在 中，求解即可得出答案 . 【详解】 由已知可得，在 中，有 ， ， ， 根据正弦定理 可得， . 在 中，有 ， ， ，所以 (m) . 故选： B. 5. 如图，已知圆锥的顶点为 S ， AB 为底面圆的直径，点 M ， C 为底面圆周上的点，并将弧 AB 三等分，过 AC 作平面 ，使 ，设 与 SM 交于点 N ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 连接 交 于点 ，连接 ，根据线面平行得性质证明 ，再根据 可得 ，进而可得出答案. 【详解】 连接 交 于点 ，连接 ，则平面 即为平面 ， 因为 ，平面 ， 平面 ，所以 ， 因为 AB 为底面圆的直径，点 M ， C 将弧 AB 三等分， 所以 ， ， 所以 且 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 . 故选： C 6. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称 ICME -7 ）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的 . 已知 为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为 ，令 为数列 的前 项和，则 （ ） A 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】 C 【解析】 【分析】 由题意可得 的边长，进而可得周长 及 ，进而可得 ，可得解 . 【详解】 由 ， 可得 ， ， ， ， 所以 ， 所以 ， 所以前 项和 ， 所以 ， 故选： C. 7. 已知函数 ， 分别与直线 交于点 ， ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 依题意，表示出 两点坐标和 ，构造函数，利用导数研究单调区间和最值 . 【详解】 由题意， ， ，其中 ，且 ， 所以 ，令 ， ， 则 时，解得 ， 所以 时， ； 时， ； 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 时， ， 故选： B ． 8. 已知点 F 为双曲线 的右焦点， A ， B 两点在双曲线上，且关于原点对称， M 、 N 分别为 的中点，当 时，直线 AB 的斜率为 ，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】 C 【解析】 【分析】 记双曲线的左焦点为 ，由此可得四边形 为平行四边形，由条件证明四边形 为矩形，由此可得四边形 为矩形，再求 ，结合双曲线定义求离心率 . 【详解】 记双曲线的左焦点为 ， 因为 ， ， 所以四边形 为平行四边形， 因为 M 、 N 分别为 的中点，点 为线段 的中点， 所以 ，又 ， 所以四边形 为矩形，故 ， 所以四边形 为矩形，故 为直角三角形，斜边为 ， 所以 ， 因为直线 AB 的斜率为 ， 所以 ，所以 ， ， 由双曲线定义可得 ， 所以曲线的离心率 . 故选： C. 二、选择题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 . 9. 如图，正三棱锥 和正三棱锥 的侧棱长均为 ， . 若将正三棱锥 绕 旋转，使得点 E ， P 分别旋转至点 A ， 处，且 A ， B ， C ， D 四点共面，点 A ， C 分别位于 BD 两侧，则（ ） A. B. C. 多面体 的外接球的表面积为 D. 点 P 与点 E 旋转运动的轨迹长之比为 【答案】 AD 【解析】 【分析】 由线面垂直的判定定理和性质定理结合正三棱锥的性质可判断 A ， B ；由已知可得，正三棱锥侧棱两两互相垂直，放到正方体中，借助正方体研究线面位置关系和外接球表面积可判断 C ；由题意 转动的半径长为 ， 转动的半径长为 可判断 D . 【详解】 取 的中点为 ，连接 ， 由 ，所以 ， 又 ， 平面 ，所以 平面 ， 将正三棱锥 绕 旋转，使得点 E ， P 分别旋转至点 A ， 处， 所以 平面 ，所以 ，故 A 正确； 因为 平面 ，所以 ，故 B 不正确； 因为 A ， B ， C ， D 四点共面， ， 可得： ， ， 所以 平面 ， 所以 平面 ，同理 平面 ，由已知 为正方