北京东城区2024届高三下学期4月一模试题 数学 .docx

2024 北京东城高三 一模 数 学 2024. 4 本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将 答案答在答题 卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、 选择 题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。 （ 1 ） 如图所示， 是全集， 是 的子集，则阴影部分所表示的集合是 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 2 ）已知 ， ，且 ，则 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 3 ）已知 双曲线 的离心率为 2 ，则 = （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 4 ）设函数 ，有 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 5 ） 已知函数 的 最小正 周期为 ，最大值为 ，则 函数 的 图象 （ A ）关于 直线 对称 （ B ）关于点 对称 （ C ）关于 直线 对称 （ D ）关于点 对称 （ 6 ）已知 ，若 ，则 的取值可以为 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 7 ） 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中 记载了一种制造瓦 片 的方法 . 某校高一年级计划实践这种方法，为同学们 准备了制瓦用的粘土 和 圆柱 形 的木质圆桶， 圆桶 底面 外圆的直径 为 2 0cm ，高 20cm . 首先， 在圆桶的外侧面均匀 包 上一层厚度为 2cm 的粘土， 然后 ， 沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份 （ 如图 ）， 等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦 . 每位同学制作四片瓦，全年级共 500 人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字 最接近 . （参考数 据： ） （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） （ 8 ）设等差数列 的公差 为 ，则 “ ” 是 “ 为递增数列 ” 的 （ A ）充分不必要条件 （ B ）必要不充分条件 （ C ）充 分必 要条件 （ D ）既不充分也不必要条件 （ 9 ）如图 1 ，正三角形 与 以 为直径的半圆 拼在一起 ， 是 的中点， 为 的中心 . 现将 沿 翻折为 ， 记 的中心为 ，如图 2. 设直线 与平面 的夹角为 ，则 的最大值为 图 1 图 2 （ B ） （ C ） （ D ） （ 10 ）已知 是 定义在 R 上 的函数 ，其 图象 是 一条 连续 不断的曲线 ， 设函数 ，下列说法正确的是 （ A ）若 在 R 上单调递增，则存在 实数 ，使得 在 上单调递增 （ B ）对于任意实数 ，若 在 上单调递增，则 在 R 上单调递增 （ C ） 对于任意实数 ， 若存在 实数 ，使 得 ， 则存在实数 ，使得 （ D ） 若函数 满足：当 时， ，当 时， ，则 为 的最小值 第二部分 （ 非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 。 （ 1 1 ） 若复数 ，则 ___________. （ 1 2 ）设向量 ，且 ，则 ___________. （ 1 3 ）已知角 的终边关于直线 对称，且 ，则 的一组取值可以是 = ， = . （ 1 4 ） 已知 抛物线 的焦点为 ， 则 的 坐标为 ______ ；抛物线 的焦点为 ，若 直线 分别与 ， 交于 ， 两点， 且 ，则 _____. （ 15 ） 已知数列 的各项均为正数，满足 ，其中常数 . 给出下列四个判断： ①若 ， ， 则 ； ②若 ， 则 ； ③若 ， ，则 ； ④ ，存在 实数 ，使得 . 其中所有正确判断的序号是 ． 三、解答题共 6 小题，共 8 5 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16) （本小题 1 3 分） 在 中， . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ， 为 边的中点，且 ，求 的值 . (1 7 ) （本小题 13 分） 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （ Ⅰ ） 若该校高二年级有 1500 人， 试估计 阅读速度达到 620 字 / 分钟及 以上的人数； （ Ⅱ ） 用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中阅读速度达到 540 字 / 分钟及 以上的人数为 , 求 的分布列与数学期望 ; （ Ⅲ ）若某班有 10 名学生参加测试，他们的阅读速度如下： 506, 516, 553, 592, 617, 632, 667, 693, 723, 776, 从这 10 名学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中阅读速度达到 540 字 / 分钟及 以上的人数为 Y, 试判断数学期望 与 ( Ⅱ ) 中的 的大小 .( 结论不要求证明 ) (1 8 ) （本小题 1 4 分） 如图， 在五面体 中，底面 为正方形， ， . （ Ⅰ ） 求 证： ∥ ； （ Ⅱ ） 若 为 的中点， 为 的中点， ， ，再从条件 ① 、 条件 ② 这 两 个条件中 选