专题27.32 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

专题 27 . 32 相似三角形几何模型-一线三等角 （ 知识讲解 ） 模型一：一线三直角 图一 图二 模型二：一线三等角 图三 图四 图五 图六 【典型例题】 类型一、 一线三直角模型 1 ． 如图，在四边形 ABCD 中，AB CD， ， ， E 为 BC 上一点，且 ，若 ， ，求 AB 的长． 【答案】 【分析】由题意易知 AB 和 CD 所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度． 解： ∵ AB 平行 CD ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点拨】 此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用． 举一反三 【变式1】 如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10． （1）求证：△AEF∽△DFC； （2）求线段EF的长度． 【答案】（1）证明 见分析 ；（2） ． 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是矩形，于是得到∠ A =∠ D =∠ B =90°，根据折叠的性质得∠ EFC =∠ B =90°，推出∠ AEF =∠ DFC ，即可得到结论； （2）根据折叠的性质得 CF = BC =10，根据勾股定理得到 ，求得 AF =4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论． 解： （1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ A =∠ D =∠ B =90°， CD = AB =8， 根据折叠的性质得∠ EFC =∠ B =90°， ∴∠ AFE +∠ AEF =∠ AFE +∠ DFC =90°， ∴∠ AEF =∠ DFC ， ∴△ AEF ∽△ DFC ； （2）根据折叠的性质得： CF = BC =10， BE = EF ， ∴ ， ∴ AF =4， ∵ AE = AB - BE =8- EF ， ∴ EF 2 = AE 2 + AF 2 ， 即 EF 2 =（8- EF ） 2 +4 2 ， 解得： ． 【点拨】 本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答． 【变式 2 】 如图1，在矩形 中， 为 边上一点，把 沿 翻折，使点 恰好落在 边上的点 处． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长； （3）如图2，在第（2）问的条件下，若 ， 分别是 ， 上的动点，求 的最小值． 【答案】（1） 见分析 ；（2） ；（3） 的最小值为 ． 【分析】 （1）选证得 ，即可证明结论； （2）利用折叠的性质，在 Rt △ ABF 中，求得 BF 的长，设 CE = x ，在 Rt △ CEF 中，利用勾股定理构建关于 x 的方程，即可求解； （3）根据折叠的性质，点 F 、 D 关于直线 AE 对称，过 F 作 FQ ⊥ AD 于 Q ，交 AE 于 P ，此时 PD + PQ 的最小值