2024届高考二轮复习数学试题（新高考新教材） 专题突破练14　空间位置关系的判断与证明 .docx

专题突破练 14 　 空间位置关系的判断与证明 一、单项选择题 1 . 设 α , β 为两个不同的平面 , 直线 l ⊂ α , 则 “ l ∥ β ” 是 “ α ∥ β ” 的 ( 　　 ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 2 . 在三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , 点 M 在 AB 上 , 且 AM= λ AB , 若 BC 1 ∥ 平面 A 1 MC , 则 λ = ( 　　 ) A . B . C . D . 3 . 如图 , AB 为圆锥底面直径 , 点 C 为底面圆 O 上异于 A , B 的动点 , 已知 OA= , 圆锥侧面展开图是圆心角为 π 的扇形 , 当 ∠ PBC= 时 , PB 与 AC 所成的角为 ( 　　 ) A . B . C . D . 4 . 正二十面体的每一个面均为等边三角形 , 共有 12 个顶点、 30 条棱 . 如图 , 由正二十面体的一个顶点 P 和与 P 相邻的五个顶点构成正五棱锥 P-ABCDE , 则 PA 与面 ABCDE 所成角的余弦值约为 ( 　　 )( 参考数据 cos 36 ° ≈ 0 . 8) A . B . C . D . 5 . 已知正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 棱长为 2, 点 P 在矩形 ACC 1 A 1 ( 包含边界 ) 内运动 , 且 ∠ PBD= 45 ° , 则动点 P 的轨迹的长度为 ( 　　 ) A . π B . π C . 2 π D . 2 π 二、多项选择题 6 . (2022 · 新高考 Ⅰ ,9) 已知正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 , 则 ( 　　 ) A . 直线 BC 1 与 DA 1 所成的角为 90 ° B . 直线 BC 1 与 CA 1 所成的角为 90 ° C . 直线 BC 1 与平面 BB 1 D 1 D 所成的角为 45 ° D . 直线 BC 1 与平面 ABCD 所成的角为 45 ° 7 . 如图 , 四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形 , PD ⊥ 底面 ABCD , AD= 1, PD=AB= 2, E 为 PB 的中点 , 过 A , D , E 三点的平面 α 与平面 PBC 的交线为 l , 则下列结论正确的是 ( 　　 ) A . l ∥ 平面 PAD B . AE ∥ 平面 PCD C . 直线 PA 与 l 所成角的余弦值为 D . 平面 α 截四棱锥 P-ABCD 所得的上、下两部分几何体的体积的比值为 三、填空题 8 . 若平面 α 过正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A , 且平面 α ∥ 平面 A 1 BD , 平面 α ∩ 平面 ABCD=l , 则直线 l 与直线 A 1 C 1 所成的角为 　　　　　 .   9 . 如图 , 三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的底面是边长为 2 的正三角形 , AA 1 = 3, AA 1 ⊥ AC , D 为 A 1 C 1 的中点 , BD= 3 , 则二面角 A 1 -AC-B 的正切值为 　　　　　 .   专题突破练 14 　 空间位置关系的判断与证明 1 . B 　 解析 当 l ∥ β 时 , α 与 β 可能平行也可能相交 . 当 α ∥ β 时 , 因为 l ⊂ α , 所以 l ∥ β . 故选 B . 2 . A 　 解析 如图 , 连接 AC 1 , 交 A 1 C 于点 O , 连接 OM. ∵ BC 1 ∥ 平面 A 1 MC , BC 1 ⊂ 平面 ABC 1 , 平面 A 1 MC ∩ 平面 ABC 1 =OM , ∴ BC 1 ∥ OM. 又在 △ ABC 1 中 , O 为 AC 1 的中点 , ∴ M 为 AB 的中点 , ∴ AM= AB , ∴ λ = . 故选 A . 3 . C 　 解析 设圆锥的母线长为 l , 则 l· π = 2 π , 解得 l= 2 . ∵ PB=PC=l= 2, ∠ PBC= , ∴ BC= 2 . ∴ 在 Rt △ ABC 中 , AC= 2 . 作 BD ∥ AC , 与圆 O 交于点 D , 连接 AD , 则四边形 ACBD 为平行四边形 , BD=AC= 2 . 连接 PD , 则 ∠ PBD 为 PB 与 AC 所成的角 . 在 △ PBD 中 , ∵ PD=PB= 2, BD= 2 , ∴ PB 2 +PD 2 =BD 2 , ∴ PD ⊥ PB , ∴∠ PBD= . 故选 C . 4 . A 　 解析 设正二十面体的棱长为 a , 点 P 在面 ABCDE 内的射影为点 O , 则 O 为正五边形 ABCDE 的中心 . 连接 OA , OB ( 图略 ), 则 ∠ AOB= 72°, 所以 OA= a. 因为 PO ⊥ 面 ABCDE , 所以 ∠ PAO 为 PA 与面 ABCDE 所成的角 , 所以 cos ∠ PAO= . 5 . B 　 解析 由题意 , 易知动点 P 的轨迹为以 AC 为直径的半圆 , AC= 2 , 故动点 P 的轨迹的长度为 × 2 π = π . 6 . ABD 　 解析 连接 AD 1 , ∵ 在正方体 ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1 中 , BC 1 ∥ AD 1 , A 1 D ⊥ AD 1 , ∴ 直线 BC 1 与 DA 1 所成的角为 90°, 故 A 正确 ; 连接 B 1 C , ∵ A 1 B 1 ⊥ 平面 BCC 1 B 1 , BC 1 ⊂ 平面 BCC 1 B 1 , ∴ A 1 B 1 ⊥ BC 1 , 又 BC 1 ⊥ B 1 C , A 1 B 1 ∩ B 1 C=B 1 , A 1 B 1 ⊂ 平面 A 1 B 1 C , B 1 C ⊂ 平面 A 1 B 1 C , ∴ BC 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 C , 又 CA 1 ⊂ 平面 A 1 B 1 C , ∴ BC 1 ⊥ CA 1 , 即直线 BC 1 与 CA 1 所成的角为 90°, 故 B 正确 ; 连接 A 1 C 1 , 交 B 1 D 1 于点 O , 连接 BO. 易证 C 1 A 1 ⊥ 平面 BB 1 D 1 D. ∴∠ C 1 BO 为直线 BC 1 与平面 BB 1 D 1 D 所成的角 . 设正方体的棱长为 a , 则 OC 1 = a , BC 1 = a , ∴ sin ∠ C 1 BO= , ∴∠ C 1 BO= 30°, 故 C 错误 ; ∵ C 1 C ⊥ 平面 ABCD , ∴∠ C 1 BC 为直线 BC 1 与平面 ABCD 所成的角 . 又 ∠ C 1 BC= 45°, ∴ 直线 BC 1 与平面 ABCD 所成的角为 45°, 故 D 正确 . 故选 ABD . 7 . ACD 　 解析 如图 , 取 PC 的中点 F , 连接 EF , 则 AD ∥ EF , 所以 A , D , E , F 四点共面 , 所以 l 为 EF. 对于 A, 因为 EF ∥ AD , EF ⊄ 平面 PAD , AD ⊂ 平面 PAD , 所以 EF ∥ 平面 PAD , 即 l ∥ 平面 PAD , 故 A 正确 . 对于 B, 若 AE ∥ 平面 PCD , 则必有 AE ∥ DF , 又 EF ∥ AD , 所以四边形 ADFE 为平行四边形 , 所以 AD=EF , 与 EF= BC= AD 矛盾