专题突破练
3
基本初等函数、函数的应用
一、单项选择题
1
.
函数
f
(
x
)
=
的零点个数是
(
)
A
.
1
B
.
2
C
.
3
D
.
4
2
.
函数
f
(
x
)
=
log
a
x+
(
a>
1)
的图象大致是
(
)
3
.
已知关于
x
的方程
9
x
-
2
a
·
3
x
+
4
=
0
有一个大于
2log
3
2
的实数根
,
则实数
a
的取值范围为
(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
(4,
+
∞
)
4
.
关于函数
f
(
x
)
=
其中
a
,
b
∈
R
,
给出下列四个结论
:
甲
,6
是该函数的零点
;
乙
,4
是该函数的零点
;
丙
,
该函数的零点之积为
0;
丁
,
方程
f
(
x
)
=
有两个根
.
若上述四个结论中有且只有一个结论错误
,
则该错误结论是
(
)
A
.
甲
B
.
乙
C
.
丙
D
.
丁
5
.
已知函数
f
(
x
)
=
若关于
x
的方程
f
2
(
x
)
+mf
(
x
)
+
=
0
有
6
个解
,
则实数
m
的取值范围为
(
)
A
.
(
-
1,0)
B
.
-
1,
-
C
.
-
1,
-
D
.
-
,
-
二、多项选择题
6
.
空旷的田野上
,
两根电线杆之间的电线
;
峡谷的上空
,
横跨深涧的观光索道的钢索
.
这些现象中都有相似的曲线形态
.
事实上
,
这些曲线在数学上常常被称为悬链线
.
悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用
.
在恰当的坐标系中
,
这类函数的表达式可以为
f
(
x
)
=a
e
x
+b
e
-x
(
其中
a
,
b
是非零常数
,
无理数
e
=
2
.
718 28
…
),
对于函数
f
(
x
),
下列说法正确的是
(
)
A
.
如果
a=b
,
那么函数
f
(
x
)
为奇函数
B
.
如果
ab<
0,
那么
f
(
x
)
为单调函数
C
.
如果
ab>
0,
那么函数
f
(
x
)
没有零点
D
.
如果
ab=
1,
那么函数
f
(
x
)
的最小值为
2
7
.
已知
k>
0,
函数
f
(
x
)
=
则
(
)
A
.
f
(
x
)
是奇函数
B
.
f
(
x
)
的值域为
R
C
.
存在
k
,
使得
f
(
x
)
在定义域上单调递增
D
.
当
k=
时
,
方程
f
(
x
)
=
1
有两个实数根
三、填空题
8
.
已知函数
f
(
x
)
=
(
t>
0)
有两个零点
,
且其图象过点
(e,1),
则常数
t
的一个取值为
.
9
.
已知函数
f
(
x
)
=
e
x
+x
2
+
ln(
x+a
)
与函数
g
(
x
)
=
e
x
+
e
-x
+x
2
(
x<
0)
的图象上存在关于
y
轴对称的点
,
则实数
a
的取值范围为
.
专题突破练
3
基本初等函数、函数的应用
1
.
B
解析
令
f
(
x
)
=
=
0,
即
x
2
-
2
x-
1
=
0,
解得
x=
1±
,
经检验
x=
1±
是方程
f
(
x
)
=
0
的解
,
故
f
(
x
)
有两个零点
.
故选
B
.
2
.
A
解析
令
g
(
x
)
=x+
,
由于
a>
1,
所以
g
(
x
)
在区间
(0,
)
内单调递减
,
在区间
(
,
+∞
)
内单调递增
,
故
f
(
x
)
在区间
(0,
)
内单调递减
,
在区间
(
,
+∞
)
内单调递增
,
对照题中选项中的图象
,
知
A
选项正确
.
3
.
C
解析
令
t=
3
x
,
因为方程
9
x
-
2
a·
3
x
+
4
=
0
有一个大于
2log
3
2
的实数根
,
即
x>
2log
3
2,
则
t>
=
4,
所以函数
f
(
t
)
=t
2
-
2
at+
4
有一个大于
4
的零点
,
所以
f
(4)
=
4
2
-
8
a+
4
<
0,
解得
a>
,
即实数
a
的取值范围是
.
故选
C
.
4
.
B
解析
若甲是错误的结论
,
则由乙正确可得
b=
4,
由丙正确得
a=
1,
此时丁不正确
,
不符合题意
;
若乙是错误的结论
,
则由甲正确可得
b=
6,
由丙正确得
a=
1,
此时丁也正确
,
符合题意
;
若丙或丁是错误的结论
,
则甲和乙不可能同时正确
,
不符合题意
,
故选
B
.
5
.
D
解析
令
f
(
x
)
=t
,
则原方程可化为
t
2
+mt+
=
0,
画出函数
f
(
x
)
的图象
(
如图
)
.
由图象可知
,
若关于
x
的方程
f
2
(
x
)
+mf
(
x
)
+
=
0
有
6
个解
,
则关于
t
的方程
t
2
+mt+
=
0
必须在区间
0,
内有两个不相等的实根
,
由二次方程根的分布得
解得
m
∈
-
,
-
.
故选
D
.
6
.
BC
解析
对
A,
当
a=b
时
,
f
(
x
)
=a
e
-x
+a
e
x
,
此时
f
(
-x
)
=a
e
x
+a
e
-x
=f
(
x
),
故
f
(
x
)
为偶函数
.
故
A
错误
.
对
B,
当
ab<
0
时
,
若
a>
0,
b<
0,
则函数
y=a
e
x
在其定义域上单调递增
,
函数
y=
在其定义域上也单调递增
,
故函数
f
(
x
)
=a
e
x
+
在其定义域上单调递增
;
若
a<
0,
b>
0,
则函数
y=a
e
x
在其定义域上单调递减
,
函数
y=
在其定义域上也单调递减
,
故函数
f
(
x
)
=a
e
x
+
在其定义域上单调递减
.
综上
,
如果
ab<
0,
那么
f
(
x
)
为单调函数
.
故
B
正确
.
对
C,
当
a>
0,
b>
0
时
,
函数
f
(
x
)
=a
e
x
+b
e
-x
≥2
=
2
>
0,
当
a<
0,
b<
0
时
,
函数
f
(
x
)
=-
(
-a
e
x
-b
e
-x
)≤
-
2
=-
2
<
0
.
综上
,
如果
ab>
0,
那么函数
f
(
x
)
没有零点
.
故
C
正确
.
对
D,
由
ab=
1,
得
b=
.
当
a<
0,
b<
0
时
,
函数
f
(
x
)
=-
-a
e
x
-
e
-x
≤
-
2
=-
2;
当
a>
0,
b>
0
时
,
函数
f
(
x
)
=a
e
x
+
e
-x
≥2
=
2
.
故
ab=
1
时
,
函数
f
(
x
)
没有最小值
.
故
D
错误
.
7
.
AC
解析
当
x>
0
时
,
f
(
-x
)
=-
ln(
k+x
)
=-f
(
x
),
当
x<
0
时
,
f
(
-x
)
=
ln(
k-x
)
=-f
(
x
),
所以
f
(
x
)
是奇函数
,
故选项
A
正确
;
当
x>
0
时
,
f
(
x
)
=
ln(
k+x
)
单调递增
,
且
f
(
x
)
>
ln
k
,
当
x<
0
时
,
f
(
x
)
=-
ln(
k-
2024届高考二轮复习数学试题(新高考新教材) 专题突破练3 基本初等函数、函数的应用 .docx