江苏南师大附中
2022—2023学年高三一模适应性考试
数
学
一、单选题(本大题共
8
小题,共
40.0
分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.
若集合
,
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.
已知
,且
,其中
是虚数单位,则
等于(
)
A. 5
B.
C.
D. 1
3.
等比数列
的前
项和为
,若
,则公比
的值为(
)
A.
B. 1 C.
或
1
D.
或
1
4.
下如图是世界最高桥
——
贵州北盘江斜拉桥
.
下如图是根据下如图作的简易侧视图(为便于计算,侧视图与实物有区别)
.
在侧视图中,斜拉杆
PA
,
PB
,
PC
,
PD
的一端
P
在垂直于水平面的塔柱上,另一端
A
,
B
,
C
,
D
与塔柱上的点
O
都在桥面同一侧的水平直线上
.
已知
,
,
,
.
根据物理学知识得
,则
(
)
A
.
28m
B
.
20m
C
.
31m
D
.
22m
5.
已知实数
,则
的取值范围是
(
)
A.
B.
C.
D.
6.
函数
的定义域为
R
,且
为偶函数,
,若
,则
( )
A. 1
B. 2
C.
D.
7.
已知
的一条切线
与
f
(
x
)有且仅有一个交点,则(
)
A.
B.
C.
D.
8.
有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体
.
如图,这是一个棱数为
24
,棱长为
的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得
.
若点
为线段
上的动点,则直线
与直线
所成角的余弦值的取值范围为(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
二、多选题(本大题共
4
小题,共
20.0
分。在每小题有多项符合题目要求)
9.
已知事件
A
,
B
满足
,
,则(
)
A.
若
,则
B.
若
A
与
B
互斥,则
C.
若
A
与
B
相互独立,则
D.
若
,则
A
与
B
相互独立
10.
已知随机变量
X
的概率密度函数为
,且
的极大值点为
,记
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
11.
下列说法中,其中正确的是
( )
A.
命题:
“
”
的否定是
“
”
B.
化简
的结果为
2
C.
…
D.
在三棱锥
中,
,
,点
是侧棱
的中点,且
,则三棱锥
的外接球
的体积为
.
12.
同学们,你们是否注意到,自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深洞的观光索道的钢索
.
这些现象中都有相似的曲线形态
.
事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线
.
悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用
.
在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为
(其中
,
是非零常数,无理数
),对于函数
以下结论正确的是
( )
A.
是函数
为偶函数的充分不必要条件;
B.
是函数
为奇函数的充要条件;
C.
如果
,那么
为单调函数;
D.
如果
,那么函数
存在极值点
.
三、填空题(本大题共
4
小题,共
20.0
分)
13.
过点
且与圆
C
:
相切的直线方程为
__________
14.
数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出,后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是:任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和,例如正整数
.设
,其中
a
,
b
,
c
,
d
均为自然数,则满足条件的有序数组
的个数是
__________.
15.
已知直线
,抛物线
的焦点为
,过点
的直线交抛物线
于
两点,点
关于
轴对称的点为
.
若过点
的圆与直线
相切,且与直线
交于点
,则当
时,直线
的斜率为
___________.
16.
三个元件
,
,
独立正常工作的概率分别是
,
,
,把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒
,
,
中(一盒接一个元件),各种连接方法中,此电路正常工作的最大概率是
__________
.
四、解答题(本大题共
6
小题,共
70.0
分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.
(
本小题
分
)
已知函数
在一个周期内的图象如图所示.
求函数
的表达式;
把
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
纵坐标不变
,再把得到的图象向下平移一个单位,再向左平移
个单位,得到函数
的图象,若
,求函数
的值域.
18.
(
本小题
12.0
分
)
已知数列
,
满足
,且
是公差为
1
的等差数列,
是公比为
2
的等比数列.
求
,
的通项公式;
求
的前
n
项和
19. (
本小题
分
)
某百科知识竞答比赛的半决赛阶段,每两人一组进行
PK
,胜者晋级决赛,败者终止比赛
.
比赛最多有三局,第一局限时答题,第二局快问快答,第三局抢答
.
比赛双方首先各自进行一局限时答题,依据答对题目数量,答对多者获胜,比赛结束,答对数量相等视为平局,则需进入快问快答局;若快问快答平局,则需进入抢答局,两人进行抢答,抢答没有平局
.
已知甲、乙两位选手在半决赛相遇,且在与乙选手的比赛中,甲限时答题局获胜与平局的概率分别为
,
,快问快答局获胜与平局的概率分别为
,
,抢答局获胜的概率为
,且各局比赛相互独立
.
求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率;
知乙最后晋级决赛,但不知甲、乙两人经过几局比赛,求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率
.
20.
(
本小题
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