2023
届长宁区高三二模考试数学试卷
一、填空题
1.已知集合
,
,则
______
.
2.若“
”是“
”的充分条件,则实数
的取值范围为
___________
.
3.已知事件
A
与事件
B
相互独立,如果
,
,那么
__________
.
4.已知圆锥侧面展开图的圆心角为
,底面周长为
,则这个圆锥的体积为
___________
.
5.若函数
为奇函数,则实数
a
的值为
___________
.
6.设随机变量
X
服从正态分布
,若
,则
___________
.
7.某小学开展劳动教育,欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园,矩形的一条边为围墙,如图.则至少需要
___________
米栅栏.
8.若函数
,
满足
,且
,则
___________
.
9.若对任意
,均有
,则实数
a
的取值范围为
___________
.
10.已知空间向量
,
,
,
满足:
,
,
,
,则
的最大值为
___________
.
11.已知
是双曲线
的左、右焦点,
l
是
的一条渐近线,以
为圆心的圆与
l
相切于点
P
,若双曲线
的离心率为2,则
__________
.
二、单选题
12.在下列统计指标中,用来描述一组数据离散程度的量是(
)
A.平均数
B.众数
C.百分位数
D.标准差
13.设复平面上表示
和
的点分别为点
A
和点
B
,则表示向量
的复数在复平面上所对应的点位于(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
14.已知正方体
,点
P
在直线
上,
Q
为线段
BD
的中点.则下列说法不正确的是(
)
A.存在点
P
,使得
B.存在点
P
,使得
C.直线
PQ
始终与直线
异面
D.直线
PQ
始终与直线
异面
15.设各项均为实数的等差数列
和
的前
n
项和分别为
和
,对于方程①
,②
,③
.下列判断正确的是(
)
A.若①有实根,②有实根,则③有实根
B.若①有实根,②无实根,则③有实根
C.若①无实根,②有实根,则③无实根
D.若①无实根,②无实根,则③无实根
三、解答题(本大题共有
5
题、满分
78
分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
16.盒子中有5个乒兵球,其中2个次品,3个正品.现从中不放回地随机摸取2次小球,每次一个.
(1)记“第二次摸出的小球是正品”为事件
B
,求证:
;
(2)用
X
表示摸出的2个小球中次品的个数,求
X
的分布列和期望.
17.如图,在四棱锥
中,底面
为直角梯形,
,
,
,
,
分别为棱
中点.
(1)求证:平面
平面
;
(2)若平面
平面
,直线
与平面
所成的角为
,且
,求二面角
的大小.
18.某地新能源汽车保着量符合阻沛型增长模型
,其中
为自统计之日起,经过
t
年后该地新能源汽车保有量、
和
r
为增长系数、
M
为饱和量.
下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量(万辆)的统计数据:
年份
2018
2019
2020
2021
2022
t
0
1
2
3
4
保有量
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
假设该地新能源汽车饱和量
万辆.
(1)若
,假设2018年数据满足公式
,计算
的值(精确到0.01)并估算2023年年底该地新能源汽车保有量(精确到0.1万辆);
(2)设
,则
与
t
线性相关.请依据以上表格中相关数据,利用线性回归分析确定
和
r
的值(精确到0.01).
附:线性回归方程
中回归系数计算公式如下:
.
19.已知抛物线
:
的焦点为
,准线为
,直线
经过点
且与
交于点
、
.
(1)求以
为焦点,坐标轴为对称轴,离心率为
的椭圆的标准方程;
(2)若
,求线段
的中点到
轴的距离;
(3)设
为坐标原点,
为
上的动点,直线
、
分别与准线
交于点
、
.求证:
为常数.
20.(1)求简谐振动
的振幅、周期和初相位
;
(2)若函数
在区间
上有唯一的极大值点,求实数
m
的取值范围;
(3)设
,
,若函数
在区间
上是严格增函数,求实数
a
的取值范围.
1.
【分析】
找出
A
与
B
的公共元素,即可确定出交集.
【详解】
解:∵
,
,
∴
.
故答案为:
【点睛】
此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.
【分析】
由充分条件定义直接求解即可.
【详解】
“
”是“
”的充分条件,
,
,
即实数
的取值范围为
.
故答案为:
.
3.
##
【分析】
根据独立事件的概率公式计算即可.
【详解】
解:因为事件
A
与事件
B
相互独立,
,
则
,
所以
,
故答案为:
4.
##
【分析】
利用圆的周长和扇形弧长公式可构造方程求得圆锥底面半径和母线长,由勾股定理可得圆锥的高,代入圆锥体积公式即可.
【详解】
设圆锥底面半径为
,母线长为
,高为
,
,解得:
,
,
圆锥体积
.
故答案为:
.
5.1
【分析】
先求出函数的定义域,再由
,代入求解即可.
【详解】
因为函数
的定义域为
,
解得:
,
所以由函数
为奇函数,
则
,由
,
解得:
.
故答案为:
.
6.
【分析】
根据正态分布的概念及性质即可求解概率.
【详解】
解:因为
,
所以
,
故答案为:
.
7.
【分析】
设矩形植物种植园的宽、长为
,由题意结合均值不等式求解即可.
【详解】
设矩形植物种植园的宽、长为
,
所以
,
则
,当且仅当“
”时取等.
故至少需要
米栅栏.
故答案为:
.
8.3
【分析】
先求
,再对
两边求导后令
可求
的值.
【详解】
因为函数
,
满足
,且
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