2024届高考二轮复习数学试题（新高考新教材） 专题突破练23　圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 .docx

专题突破练 23 　 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1 . 已知椭圆 C : = 1 的右焦点为 F , 过点 M (4,0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点 , 连接 AF , BF 并延长分别与椭圆交于异于 A , B 的两点 P , Q . (1) 求直线 l 的斜率的取值范围 ; (2) 若 = λ = μ , 证明 : λμ 为定值 . 2 . 已知抛物线 C : y 2 = 4 px ( p> 0) 的焦点为 F , 且点 M (1,2) 到点 F 的距离比到 y 轴的距离大 p . (1) 求抛物线 C 的方程 . (2) 若直线 l : x-m ( y+ 2) - 5 = 0 与抛物线 C 交于 A , B 两点 , 问是否存在实数 m , 使 |MA| · |MB|= 64 ? 若存在 , 求出 m 的值 ; 若不存在 , 请说明理由 . 3 . 已知双曲线 C : = 1( a> 0, b> 0) 的两个焦点为 F 1 , F 2 , 一条渐近线方程为 y=bx ( b ∈ N * ), 且双曲线 C 经过点 D ( ,1) . (1) 求双曲线 C 的方程 ; (2) 设点 P 在直线 x=m ( y ≠ ± m ,0 <m< 1, 且 m 是常数 ) 上 , 过点 P 作双曲线 C 的两条切线 PA , PB , 切点为 A , B , 求证 : 直线 AB 过某一个定点 . 4 . 已知椭圆 C : = 1( a>b> 0) 的离心率为 , 且经过点 H ( - 2,1) . (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 过点 P ( - 3,0) 的直线 ( 不与 x 轴重合 ) 与椭圆 C 相交于 A , B 两点 , 直线 HA , HB 分别交 x 轴于 M , N 两点 , 点 G ( - 2,0), 若 = λ = μ , 求证 : 为定值 . 5 . 已知圆 C : x 2 + ( y- 2) 2 = 1 与定直线 l : y=- 1, 且动圆 M 与圆 C 外切并与直线 l 相切 . (1) 求动圆圆心 M 的轨迹 E 的方程 . (2) 已知点 P 是直线 l 1 : y=- 2 上一个动点 , 过点 P 作轨迹 E 的两条切线 , 切点分别为 A , B . ① 求证 : 直线 AB 过定点 ; ② 求证 : ∠ PCA= ∠ PCB . 6 . 已知椭圆 C : = 1( a>b> 0) 过点 D ( - 2,0), 且焦距为 2 . (1) 求椭圆 C 的方程 . (2) 过点 A ( - 4,0) 的直线 l ( 不与 x 轴重合 ) 与椭圆 C 交于 P , Q 两点 , 点 T 与点 Q 关于 x 轴对称 , 直线 TP 与 x 轴交于点 H , 是否存在常数 λ , 使得 |AD| · |DH|= λ ( |AD|-|DH| ) 成立 ? 若存在 , 求出 λ 的值 ; 若不存在 , 说明理由 . 专题突破练 23 　 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1 . (1) 解 由题意知直线 l 的斜率不为零 , 故设其方程为 x=ty+ 4, 与椭圆方程联立 , 消去 x 得 (3 t 2 + 4) y 2 + 24 ty+ 36 = 0, Δ= 144( t 2 - 4) > 0, 解得 t<- 2 或 t> 2 . 故直线 l 的斜率 k= 的取值范围为 . (2) 证明 F (1,0), 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), P ( x 3 , y 3 ), Q ( x 4 , y 4 ), 由 (1) 得 y 1 +y 2 = , y 1 y 2 = , 所以 ty 1 y 2 =- ( y 1 +y 2 ) . 由 = λ , 得 又点 P 在椭圆上 , 即有 3 + 4 = 12, 代入上式得 3( λ x 1 - λ - 1) 2 + 4 λ 2 = 12, 即 λ 2 (3 + 4 ) - 6 λ ( λ + 1) x 1 + 3( λ + 1) 2 = 12, 又 3 + 4 = 12, 所以 12( λ + 1)( λ - 1) - 6 λ ( λ + 1) x 1 + 3( λ + 1) 2 = 0 . 易知 λ + 1≠0, 故 λ = , 同理可得 μ = . 又 (5 - 2 x 1 )(5 - 2 x 2 ) = 25 - 10( x 1 +x 2 ) + 4 x 1 x 2 = 25 - 10[ t ( y 1 +y 2 ) + 8] + 4( ty 1 + 4)( ty 2 + 4) = 9 + 6 t ( y 1 +y 2 ) + 4 t 2 y 1 y 2 = 9 + 6 t ( y 1 +y 2 ) + 4 t· ( y 1 +y 2 ) = 9, 所以 λμ = = 1 . 2 . 解 (1) 由点 M 到点 F 的距离比到 y 轴的距离大 p , 得点 M 到点 F 的距离与到直线 x=-p 的距离相等 . 由抛物线的定义 , 可知点 M 在抛物线 C 上 , 所以 4 = 4 p , 解得 p= 1 . 所以抛物线 C 的方程为 y 2 = 4 x. (2) 存在满足题意的 m , 其值为 1 或 - 3 . 理由如下 : 由 得 y 2 - 4 my- 8 m- 20 = 0 . 因为 Δ= 16 m 2 + 4(8 m+ 20) > 0 恒成立 , 所以直线 l 与抛物线 C 恒有两个交点 . 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 y 1 +y 2 = 4 m , y 1 y 2 =- 4(2 m+ 5) . 因为 = ( x 1 - 1)( x 2 - 1) + ( y 1 - 2)( y 2 - 2) = + ( y 1 - 2)( y 2 - 2) = +y 1 y 2 - 2( y 1 +y 2 ) + 5 = - 4(2 m+ 5) - 8 m+ 5 = 0, 所以 MA ⊥ MB , 即 △ MAB 为直角三角形 . 设 d 为点 M 到直线 l 的距离 , 所以 |MA|·|MB|=|AB|·d= = 4 ·| 1 +m|· = 16 ·| 1 +m|· = 64 , 所以 ( m+ 1) 4 + 4( m+ 1) 2 - 32 = 0, 解得 ( m+ 1) 2 = 4 或 ( m+ 1) 2 =- 8( 舍 ) . 所以 m= 1 或 m=- 3 . 所以当实数 m= 1 或 m=- 3 时 , |MA|·|MB|= 64 . 3 . (1) 解 由 解得 故双曲线方程为 x 2 -y 2 = 1 . (2) 证明 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 直线 PA 的斜率为 k , P ( m , y 0 ) . 则 PA : y-y 1 =k ( x-x 1 ), 联立方程组 消去 y , 可得 x 2 - [ kx+ ( -kx 1 +y 1 )] 2 = 1, 整理可得 (1 -k 2 ) x 2 - 2 k ( y 1 -kx 1 ) x- ( y 1 -kx 1 ) 2 - 1 = 0 . 因为 PA 与双曲线相切 , 所以 Δ= 4 k 2 ( y 1 -kx 1 ) 2 + 4(1 -k 2 ) · ( y 1 -kx 1 ) 2 + 4(1 -k 2 ) = 0, 整理得 4( y 1 -kx 1 ) 2 + 4(1 -k 2 ) = 0 . 即 k 2 - 2 kx 1 y 1 + + 1 -k 2 = 0, 即 ( - 1) k 2 - 2 kx 1 y 1 + ( + 1) = 0, 因为 = 1, 所以 - 1 = + 1 = 代入可得 k 2 - 2 x 1 y 1 k+ = 0, 即 ( y 1