2024届高考二轮复习数学试题（新高考新教材） 题型专项练4　解答题组合练（A） .docx

题型专项练 4 　 解答题组合练 (A) 1 . 在 △ ABC 中 , 内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , a+b=c cos B-b cos C . (1) 求角 C 的大小 ; (2) 设 CD 是 △ ABC 的角平分线 , 求证 : . 2 . 在数列 { a n } 中 , a 1 = 1, a n+ 1 = ( c> 0), 且 a 1 , a 2 , a 5 成等比数列 . (1) 证明 : 数列 是等差数列 , 并求 { a n } 的通项公式 ; (2) 设数列 { b n } 满足 b n = (4 n 2 + 1) a n a n+ 1 , 其前 n 项和为 S n , 证明 : S n <n+ 1 . 3 . 如图 , 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , D 为 B 1 B 的中点 , F 为 C 1 D 的中点 , AC=AB=BC= C 1 C= 2 . (1) 若 M 为 AB 的中点 , 求证 : FM ∥ 平面 A 1 ACC 1 ; (2) 求二面角 F-A 1 C 1 -B 1 的余弦值 . 4 . 我市某医疗用品生产企业对原有的生产线进行技术升级 , 为了更好地对比技术升级前和升级后的效果 , 其中甲生产线继续使用技术升级前的生产模式 , 乙生产线采用技术升级后的生产模式 , 质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各 200 件该医疗用品 , 在抽取的 400 件产品中 , 根据检测结果将它们分为 “ A ”“ B ”“ C ” 三个等级 ,A,B 等级都是合格品 ,C 等级是次品 , 统计结果如表所示 . 表 1 等级 A B C 频数 200 150 50 表 2 生产线 检测结果 合计 合格品 次品 甲 160 乙 10 合计 在相关政策扶持下 , 确保该医疗用品的每件合格品都有对口销售渠道 , 但按照国家对该医疗用品产品质量的要求 , 所有的次品必须由厂家自行销毁 . (1) 请根据所提供的数据 , 完成上面的 2 × 2 列联表 ( 表 2), 并依据 α = 0 . 001 的独立性检验 , 能否认为产品的合格率与技术升级有关 ? (2) 在抽检的所有次品中 , 按甲、乙生产线生产的次品比例进行分层随机抽样 , 抽取 10 件该医疗用品 , 然后从这 10 件中随机抽取 5 件 , 记其中属于甲生产线生产的有 X 件 , 求 X 的分布列和均值 . (3) 每件该医疗用品的生产成本为 20 元 ,A,B 等级产品的出厂单价分别为 m 元、 40 元 . 已知甲生产线抽检的该医疗用品中有 70 件为 A 等级 , 用样本的频率估计概率 , 若进行技术升级后 , 平均生产一件该医疗用品比技术升级前多盈利不超过 9 元 , 则 A 等级产品的出厂单价最高为多少元 ? 附 : χ 2 = , 其中 n=a+b+c+d . α 0 . 05 0 . 01 0 . 005 0 . 001 x α 3 . 841 6 . 635 7 . 879 10 . 828 5 . 已知函数 f ( x ) = e x+ 1 +ax 2 + 2 ax ( a ∈ R ) . (1) 若 f ( x ) 在区间 ( - 1, + ∞ ) 内单调递增 , 求 a 的取值范围 ; (2) 若 f ( x ) 存在两个极值点 x 1 , x 2 ( x 1 <x 2 ), 且 x 2 -x 1 > ln 2, 求 a 的取值范围 . 6 . 已知双曲线 C : = 1( a> 0, b> 0) 的离心率为 , 双曲线上的点到焦点的最小距离为 - 2 . (1) 求双曲线 C 的方程 ; (2) 四边形 MNPQ 的四个顶点均在双曲线 C 上 , 且 MQ ∥ NP , MQ ⊥ x 轴 , 若直线 MN 和直线 QP 交于点 S (4,0), 四边形 MNPQ 的对角线交于点 D , 求点 D 到双曲线 C 的渐近线的距离之和 . 题型专项练 4 　 解答题组合练 (A) 1 . (1) 解 由 a+b=c cos B-b cos C 及正弦定理得 sin A+ sin B= sin C cos B- sin B cos C. 又 sin( B+C ) = sin( π -A ) = sin A , 所以 sin( B+C ) + sin B= sin C cos B- sin B cos C , 所以 2sin B cos C+ sin B= 0 . 因为 B ∈ (0, π ), 所以 sin B ≠0, 所以 cos C=- . 又 C ∈ (0, π ), 所以 C= . (2) 证明 因为 CD 是 △ ABC 的角平分线 , 且 C= , 所以 ∠ ACD= ∠ BCD= . 在 △ ABC 中 , S △ ABC =S △ ACD +S △ BCD , 则 CA·CB sin CA·CD sin CD·CB sin , 即 CA·CB=CA·CD+CD·CB. 两边同时除以 CA·CB·CD 得 . 2 . (1) 解 由 a 1 = 1, a n+ 1 = , 得 +c , 即 =c , 所以数列 是等差数列 , 其公差为 c , 首项为 1 . 因此 = 1 + ( n- 1) c , a n = . 由 a 1 , a 2 , a 5 成等比数列 , 得 =a 1 a 5 , 即 = 1 × , 解得 c= 2 或 c= 0( 舍去 ) . 故 a n = . (2) 证明 因为 b n = = 1 + = 1 + , 所以 S n =b 1 +b 2 + … +b n =n+ 1 - + … + =n+ 1 - . 因为 > 0, 所以 S n <n+ 1 . 3 . (1) 证明 如图 , 取 AA 1 的中点 N , 连接 C 1 N , ND , 取 C 1 N 的中点 E , 连接 EF , AE. ∵ AN ∥ BD , AN=BD , ∴ 四边形 ANDB 为平行四边形 , ∴ AB ∥ ND , AB=ND. ∵ E , F 分别为 C 1 N , C 1 D 的中点 , ∴ EF 􀰿 ND. 又 AM 􀰿 ND , ∴ AM 􀰿 EF , ∴ 四边形 MAEF 为平行四边形 , ∴ MF ∥ AE. 又 MF ⊄ 平面 A 1 ACC 1 , AE ⊂ 平面 A 1 ACC 1 , ∴ FM ∥ 平面 A 1 ACC 1 . (2) 解 如图 , 建立空间直角坐标系 , 则 C 1 ( ,1,0), F , ∴ = ( ,1,0), . 设平面 FA 1 C 1 的法向量为 n = ( x , y , z ), 则 n · x+y= 0, n · x+ y+z= 0, 取 x= , 则 y=- 3, z= 3, ∴ n = ( , - 3,3) 为平面 FA 1 C 1 的一个法向量 . 由题意可知 m = (0,0,1) 为平面 A 1 B 1 C 1 的一个法向量 . 设二面角 F-A 1 C 1 -B 1 的平面角为 θ , 由图可知 θ 为锐角 , ∴ cos θ = . 4 . 解 (1) 根据所提供的数据 , 可得 2 × 2 列