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2024届高考二轮复习数学试题(新高考新教材) 专题突破练10 三角函数与解三角形解答题.docx

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专题突破练 10   三角函数与解三角形解答题 1 . 已知向量 a = (cos x ,sin x ), b = (4 sin x ,4sin x ), 若 f ( x ) = a · ( a + b ) . (1) 求 f ( x ) 的单调递减区间 ; (2) 求 f ( x ) 在区间 上的最值 . 2 . (2022 · 新高考 Ⅱ ,18) 记 △ ABC 的三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 以 a , b , c 为边长的三个正三角形的面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , 且 S 1 -S 2 +S 3 = ,sin B= . (1) 求 △ ABC 的面积 ; (2) 若 sin A sin C= , 求 b . 3 . (2023 · 新高考 Ⅱ ,17) 记 △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 已知 △ ABC 面积为 , D 为 BC 的中点 , 且 AD= 1 . (1) 若 ∠ ADC= , 求 tan B ; (2) 若 b 2 +c 2 = 8, 求 b , c . 4 . 在 △ ABC 中 , 已知 a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边 , b cos C+c cos B= 4, B= . 请在下列三个条件中 , 任意选择一个添加到题目的条件中 , 求 △ ABC 的面积 . ① ( a+b+c )(sin A+ sin B- sin C ) = 3 a sin B ; ② b= 4 ; ③ c sin B=b cos C . 5 . 在 △ ABC 中 , 它的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 且 B= , b= . (1) 若 cos A cos C= , 求 △ ABC 的面积 . (2) 试问 = 1 能否成立 ? 若能成立 , 求此时 △ ABC 的周长 ; 若不能成立 , 请说明理由 . 6 . 如图 , 某景区内有一半圆形花圃 , 其直径 AB 为 6, O 是圆心 , 且 OC ⊥ AB . 在 OC 上有一座观赏亭 Q , 其中 ∠ AQC= . 计划在 上再建一座观赏亭 P , 记 ∠ POB= θ . (1) 当 θ = 时 , 求 ∠ OPQ 的大小 ; (2) 当 ∠ OPQ 越大时 , 游客在观赏亭 P 处的观赏效果越佳 , 当游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时 , 求 sin θ 的值 . 专题突破练 10   三角函数与解三角形解答题 1 . 解 由于 f ( x ) = a · ( a + b ) =| a | 2 + a · b = 1 + 4 sin x cos x+ 4sin 2 x= 1 + 2 sin 2 x+ 4 · = 2 sin 2 x- 2cos 2 x+ 3 = 4sin + 3 . (1) 由 + 2 k π ≤2 x- + 2 k π ( k ∈ Z ), 解得 +k π ≤ x ≤ +k π ( k ∈ Z ), 所以 f ( x ) 的单调递减区间是 ( k ∈ Z ) . (2) 由于 x ∈ , 所以 2 x- , 故当 2 x- , 即 x= 时 , 函数 f ( x ) 取最大值 7; 当 2 x- =- , 即 x= 0 时 , 函数 f ( x ) 取最小值 1 . 2 . 解 (1) 边长为 a 的正三角形的面积为 a 2 , S 1 -S 2 +S 3 = ( a 2 -b 2 +c 2 ) = , 即 ac cos B= 1 . 由 sin B= , 得 cos B= . 故 ac= . 故 S △ ABC = ac sin B= . (2) 由正弦定理可得 , b= sin B= . 3 . 解 (1) 方法一 ( 正弦定理 + 余弦定理 ) 由题意可知 S △ ABC = ac sin B= , 故 ac sin B= 2 . ① 在 △ ABD 中 , 有 , 由 ∠ ADC= , 得 ∠ ADB= , 所以 , 故 c sin B= . ② 将 ② 式代入 ① 式 , 得 a= 4 . 在 △ ADB 中 , 由余弦定理得 AB 2 =c 2 =AD 2 +BD 2 - 2 AD·BD cos , 即 c 2 = 1 2 + 2 2 - 2 × 1 × 2 × = 7, 得 c= . 在 △ ABD 中 ,cos B= > 0, 故 B ∈ , 则 sin B= ,tan B= . 方法二 ( 余弦定理 ) 因为 AD 为 △ ABC 的中线 , 所以 S △ ABC = 2 S △ ADC = 2 × × 1 × sin a= , 故 a= 4 . 在 △ ADC 中 , 由余弦定理知 b 2 = 1 2 + 2 2 - 2 × 1 × 2 × cos = 3 . 在 △ ABD 中 , c 2 =AB 2 = 1 2 + 2 2 - 2 × 1 × 2 × cos = 7 . 在 △ ABC 中 ,cos B= > 0, 故 B ∈ , 有 sin B= ,tan B= . (2)( 方法一 ) 在 △ ABC 中 , 由 , 得 | | 2 = | 2 = ( | | 2 +| | 2 + 2 ) . 由余弦定理得 2 =| | 2 +| | 2 -| | 2 . 故 | | 2 = (2 | | 2 + 2 | | 2 -| | 2 ), 即 AD 2 = ( b 2 +c 2 ) - a 2 , 得 a= 2 . 由 S △ ABC = bc sin A 和 b 2 +c 2 -a 2 = 2 bc cos A , 得 S △ ABC = ( b 2 +c 2 -a 2 )tan A , 得 tan A=- < 0, 故 A ∈ , 有 A= . 又因为 S △ ABC = bc sin A , 所以 bc= 4 . 由 b 2 +c 2 = 8 和 bc= 4, 得 b=c= 2 . 方法二 ( 几何法 ) 过点 A 作 AH ⊥ BC 交 BC 于点 H ( 图略 ) . 在 △ ABC , △ ABD 中 , 由余弦定理得 cos B= , 解得 a 2 = 2( b 2 +c 2 ) - 4 . 将 b 2 +c 2 = 8 代入 a 2 = 2( b 2 +c 2 ) - 4 中得 a= 2 . S △ ABC = BC·AH= × 2 AH= , 则 AH= 1 . 又因为 AD= 1, 所以点 H 与点 D 重合 , 即 AD 为边 BC 的中垂线 , 所以 b=c= = 2 . 4 . 解 若选择条件 ① , 则 ( a+b+c )(sin A+ sin B- sin C ) = 3 a sin B , 由正弦定理可得 ( a+b+c )( a+b-c ) = 3 ab , 所以 ( a+b ) 2 -c 2 = 3 ab , 整理得 a 2 +b 2 -c 2 =ab , 所以 cos C= , 故 C= . 又 B= , 所以 A= π - . 又因为 b cos C+c cos B= 4, 所以 b· +c· = 4, 即 a= 4 . 由正弦定理可得 , 所以 b= = 4( - 1), 故 △ ABC 的面积 S= ab sin C= × 4 × 4( - 1) × sin = 4(3 - ) . 若选择条件 ② , 则 b= 4 . 又因为 b cos C+c cos B= 4, 所以 b· +c· = 4, 即 a= 4 . 又 B= , 所以由正弦定理可得 , 所以 sin A= , 所以 A= 或 A= . 由于 b>a , 所以 B>A , 因此 A= 不合题意舍去 , 故 A= , 从而 C= π - . 故 △ ABC 的面积 S= ab sin C= × 4
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