专题突破练
10
三角函数与解三角形解答题
1
.
已知向量
a
=
(cos
x
,sin
x
),
b
=
(4
sin
x
,4sin
x
),
若
f
(
x
)
=
a
·
(
a
+
b
)
.
(1)
求
f
(
x
)
的单调递减区间
;
(2)
求
f
(
x
)
在区间
上的最值
.
2
.
(2022
·
新高考
Ⅱ
,18)
记
△
ABC
的三个内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,
以
a
,
b
,
c
为边长的三个正三角形的面积分别为
S
1
,
S
2
,
S
3
,
且
S
1
-S
2
+S
3
=
,sin
B=
.
(1)
求
△
ABC
的面积
;
(2)
若
sin
A
sin
C=
,
求
b
.
3
.
(2023
·
新高考
Ⅱ
,17)
记
△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,
已知
△
ABC
面积为
,
D
为
BC
的中点
,
且
AD=
1
.
(1)
若
∠
ADC=
,
求
tan
B
;
(2)
若
b
2
+c
2
=
8,
求
b
,
c
.
4
.
在
△
ABC
中
,
已知
a
,
b
,
c
分别是角
A
,
B
,
C
的对边
,
b
cos
C+c
cos
B=
4,
B=
.
请在下列三个条件中
,
任意选择一个添加到题目的条件中
,
求
△
ABC
的面积
.
①
(
a+b+c
)(sin
A+
sin
B-
sin
C
)
=
3
a
sin
B
;
②
b=
4
;
③
c
sin
B=b
cos
C
.
5
.
在
△
ABC
中
,
它的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,
且
B=
,
b=
.
(1)
若
cos
A
cos
C=
,
求
△
ABC
的面积
.
(2)
试问
=
1
能否成立
?
若能成立
,
求此时
△
ABC
的周长
;
若不能成立
,
请说明理由
.
6
.
如图
,
某景区内有一半圆形花圃
,
其直径
AB
为
6,
O
是圆心
,
且
OC
⊥
AB
.
在
OC
上有一座观赏亭
Q
,
其中
∠
AQC=
.
计划在
上再建一座观赏亭
P
,
记
∠
POB=
θ
.
(1)
当
θ
=
时
,
求
∠
OPQ
的大小
;
(2)
当
∠
OPQ
越大时
,
游客在观赏亭
P
处的观赏效果越佳
,
当游客在观赏亭
P
处的观赏效果最佳时
,
求
sin
θ
的值
.
专题突破练
10
三角函数与解三角形解答题
1
.
解
由于
f
(
x
)
=
a
·
(
a
+
b
)
=|
a
|
2
+
a
·
b
=
1
+
4
sin
x
cos
x+
4sin
2
x=
1
+
2
sin
2
x+
4
·
=
2
sin
2
x-
2cos
2
x+
3
=
4sin
+
3
.
(1)
由
+
2
k
π
≤2
x-
+
2
k
π
(
k
∈
Z
),
解得
+k
π
≤
x
≤
+k
π
(
k
∈
Z
),
所以
f
(
x
)
的单调递减区间是
(
k
∈
Z
)
.
(2)
由于
x
∈
,
所以
2
x-
,
故当
2
x-
,
即
x=
时
,
函数
f
(
x
)
取最大值
7;
当
2
x-
=-
,
即
x=
0
时
,
函数
f
(
x
)
取最小值
1
.
2
.
解
(1)
边长为
a
的正三角形的面积为
a
2
,
S
1
-S
2
+S
3
=
(
a
2
-b
2
+c
2
)
=
,
即
ac
cos
B=
1
.
由
sin
B=
,
得
cos
B=
.
故
ac=
.
故
S
△
ABC
=
ac
sin
B=
.
(2)
由正弦定理可得
,
b=
sin
B=
.
3
.
解
(1)
方法一
(
正弦定理
+
余弦定理
)
由题意可知
S
△
ABC
=
ac
sin
B=
,
故
ac
sin
B=
2
.
①
在
△
ABD
中
,
有
,
由
∠
ADC=
,
得
∠
ADB=
,
所以
,
故
c
sin
B=
.
②
将
②
式代入
①
式
,
得
a=
4
.
在
△
ADB
中
,
由余弦定理得
AB
2
=c
2
=AD
2
+BD
2
-
2
AD·BD
cos
,
即
c
2
=
1
2
+
2
2
-
2
×
1
×
2
×
=
7,
得
c=
.
在
△
ABD
中
,cos
B=
>
0,
故
B
∈
,
则
sin
B=
,tan
B=
.
方法二
(
余弦定理
)
因为
AD
为
△
ABC
的中线
,
所以
S
△
ABC
=
2
S
△
ADC
=
2
×
×
1
×
sin
a=
,
故
a=
4
.
在
△
ADC
中
,
由余弦定理知
b
2
=
1
2
+
2
2
-
2
×
1
×
2
×
cos
=
3
.
在
△
ABD
中
,
c
2
=AB
2
=
1
2
+
2
2
-
2
×
1
×
2
×
cos
=
7
.
在
△
ABC
中
,cos
B=
>
0,
故
B
∈
,
有
sin
B=
,tan
B=
.
(2)(
方法一
)
在
△
ABC
中
,
由
,
得
|
|
2
=
|
2
=
(
|
|
2
+|
|
2
+
2
)
.
由余弦定理得
2
=|
|
2
+|
|
2
-|
|
2
.
故
|
|
2
=
(2
|
|
2
+
2
|
|
2
-|
|
2
),
即
AD
2
=
(
b
2
+c
2
)
-
a
2
,
得
a=
2
.
由
S
△
ABC
=
bc
sin
A
和
b
2
+c
2
-a
2
=
2
bc
cos
A
,
得
S
△
ABC
=
(
b
2
+c
2
-a
2
)tan
A
,
得
tan
A=-
<
0,
故
A
∈
,
有
A=
.
又因为
S
△
ABC
=
bc
sin
A
,
所以
bc=
4
.
由
b
2
+c
2
=
8
和
bc=
4,
得
b=c=
2
.
方法二
(
几何法
)
过点
A
作
AH
⊥
BC
交
BC
于点
H
(
图略
)
.
在
△
ABC
,
△
ABD
中
,
由余弦定理得
cos
B=
,
解得
a
2
=
2(
b
2
+c
2
)
-
4
.
将
b
2
+c
2
=
8
代入
a
2
=
2(
b
2
+c
2
)
-
4
中得
a=
2
.
S
△
ABC
=
BC·AH=
×
2
AH=
,
则
AH=
1
.
又因为
AD=
1,
所以点
H
与点
D
重合
,
即
AD
为边
BC
的中垂线
,
所以
b=c=
=
2
.
4
.
解
若选择条件
①
,
则
(
a+b+c
)(sin
A+
sin
B-
sin
C
)
=
3
a
sin
B
,
由正弦定理可得
(
a+b+c
)(
a+b-c
)
=
3
ab
,
所以
(
a+b
)
2
-c
2
=
3
ab
,
整理得
a
2
+b
2
-c
2
=ab
,
所以
cos
C=
,
故
C=
.
又
B=
,
所以
A=
π
-
.
又因为
b
cos
C+c
cos
B=
4,
所以
b·
+c·
=
4,
即
a=
4
.
由正弦定理可得
,
所以
b=
=
4(
-
1),
故
△
ABC
的面积
S=
ab
sin
C=
×
4
×
4(
-
1)
×
sin
=
4(3
-
)
.
若选择条件
②
,
则
b=
4
.
又因为
b
cos
C+c
cos
B=
4,
所以
b·
+c·
=
4,
即
a=
4
.
又
B=
,
所以由正弦定理可得
,
所以
sin
A=
,
所以
A=
或
A=
.
由于
b>a
,
所以
B>A
,
因此
A=
不合题意舍去
,
故
A=
,
从而
C=
π
-
.
故
△
ABC
的面积
S=
ab
sin
C=
×
4
2024届高考二轮复习数学试题(新高考新教材) 专题突破练10 三角函数与解三角形解答题.docx