2024届高考二轮复习数学试题（新高考新教材） 专题突破练21　圆锥曲线的定义、方程与性质 .docx

专题突破练 21 　 圆锥曲线的定义、方程与性质 一、单项选择题 1 . 已知抛物线 y=mx 2 ( m> 0) 上的点 ( x 0 ,2) 到该抛物线焦点 F 的距离为 , 则 m 的值为 ( 　　 ) A . 1 B . 2 C . D . 2 . (2023 · 新高考 Ⅰ ,5) 设椭圆 C 1 : +y 2 = 1( a> 1), C 2 : +y 2 = 1 的离心率分别为 e 1 , e 2 . 若 e 2 = e 1 , 则 a= ( 　　 ) A . B . C . D . 3 . (2021 · 新高考 Ⅰ ,5) 已知 F 1 , F 2 是椭圆 C : = 1 的两个焦点 , 点 M 在 C 上 , 则 |MF 1 | · |MF 2 | 的最大值为 ( 　　 ) A . 13 B . 12 C . 9 D . 6 4 . 过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点的直线与抛物线交于 A , B 两点 , 若 AB 的中点的纵坐标为 2, 则 |AB| 等于 ( 　　 ) A . 4 B . 6 C . 8 D . 10 5 . 已知双曲线 C : = 1( a> 0, b> 0) 的离心率等于 2, F 1 , F 2 分别是双曲线的左、右焦点 , A 为双曲线的右顶点 , P 在双曲线的渐近线上且 PF 1 ⊥ PF 2 , 若 △ PAF 1 的面积为 3 a , 则双曲线的虚轴长等于 ( 　　 ) A . B . 2 C . 2 D . 4 二、多项选择题 6 . 已知 Rt △ ABC 中有一个内角为 , 如果双曲线 E 以 A , B 为焦点 , 并经过点 C , 则该双曲线的离心率可能是 ( 　　 ) A . + 1 B . 2 C . D . 2 + 7 . 已知双曲线 C :9 x 2 - 16 y 2 = 144 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , 点 P 为 C 上的一点 , 且 |PF 1 |= 6, 则下列说法正确的是 ( 　　 ) A . 双曲线的离心率为 B . 双曲线的渐近线方程为 3 x ± 4 y= 0 C . △ PF 1 F 2 的周长为 30 D . 点 P 在椭圆 = 1 上 8 . (2022 · 新高考 Ⅰ ,11) 已知 O 为坐标原点 , 点 A (1,1) 在抛物线 C : x 2 = 2 py ( p> 0) 上 , 过点 B (0, - 1) 的直线交 C 于 P , Q 两点 , 则 ( 　　 ) A . C 的准线为 y=- 1 B . 直线 AB 与 C 相切 C . |OP| · |OQ|>|OA| 2 D . |BP| · |BQ|>|BA| 2 三、填空题 9 . = 1 的焦点为 F 1 , F 2 , 点 Р 在椭圆上 , 若 |PF 1 |= 4, 则 ∠ F 1 PF 2 的大小为 　　　　　 .   10 . (2022 · 新高考 Ⅰ ,16) 已知椭圆 C : = 1( a>b> 0), C 的上顶点为 A , 两个焦点为 F 1 , F 2 , 离心率为 . 过 F 1 且垂直于 AF 2 的直线与 C 交于 D , E 两点 , |DE|= 6, 则 △ ADE 的周长是 　　　　　 .   11 . (2022 · 新高考 Ⅱ ,16) 已知直线 l 与椭圆 = 1 在第一象限交于 A , B 两点 , l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 M , N 两点 , 且 |MA|=|NB| , |MN|= 2 , 则直线 l 的方程为 　　　　　　　　 .   12 . 点 P 在椭圆 C 1 : = 1 上 , C 1 的右焦点为 F , 点 Q 在圆 C 2 : x 2 +y 2 + 6 x- 8 y+ 21 = 0 上 , 则 |PQ|-|PF| 的最小值为 　　　　　 .   专题突破练 21 　 圆锥曲线的定义、方程与性质 1 . B 　 解析 由题意 , 知抛物线 y=mx 2 ( m> 0) 的准线方程为 y=- , 根据抛物线的定义 , 可得点 ( x 0 ,2) 到焦点 F 的距离等于到准线 y=- 的距离 , 可得 2 + , 解得 m= 2 . 2 . A 　 解析 由题意 , 在 C 1 : +y 2 = 1 中 , a> 1, b= 1, c= , ∴ e 1 = . 在 C 2 : +y 2 = 1 中 , a= 2, b= 1, c= , ∴ e 2 = . ∵ e 2 = e 1 , ∴ , 解得 a= . 故选 A. 3 . C 　 解析 由题意知 |MF 1 |+|MF 2 |= 2 a= 6, 则 = 3, 则 |MF 1 |·|MF 2 | ≤9, 当且仅当 |MF 1 |=|MF 2 |= 3 时 , 等号成立 . 故 |MF 1 |·|MF 2 | 的最大值为 9 . 4 . C 　 解析 抛物线 y 2 = 4 x 的焦点坐标为 F (1,0), 准线方程 l : x=- 1 . 设 AB 的中点为 M , 过 A , B , M 作准线 l 的垂线 , 垂足分别为 C , D , N , 则 MN 为梯形 ABDC 的中位线 , |AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|= 2 |MN|= 2( x 0 + 1) . 直线 AB 过抛物线的焦点 F , 显然直线 AB 的斜率存在且不为 0, 可设直线 AB 的方程为 x=my+ 1( m 为常数 ), 代入抛物线的方程 , 消去 x 并整理 , 得 y 2 - 4 my- 4 = 0 . 设 A , B 的纵坐标分别为 y 1 , y 2 , 线段 AB 的中点 M ( x 0 , y 0 ), 则 y 0 = = 2 m= 2, 解得 m= 1 . 直线 AB 的方程为 x=y+ 1, x 0 =y 0 + 1 = 2 + 1 = 3, |AB|= 2 × (3 + 1) = 8 . 5 . D 　 解析 如图 , 双曲线 C : = 1( a> 0, b> 0) 的离心率等于 2, e= = 2, ① 设 F 1 , F 2 分别是双曲线的左、右焦点 , 双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率为 , ② A 为双曲线的右顶点 , P 在双曲线的渐近线上 , 且 PF 1 ⊥ PF 2 , 所以 P ( a , b ), △ PAF 1 的面积为 3 a , 可得 ( a+c ) ·b= 3 a , ③ 解 ①②③ , 可得 b= 2, 所以 C 的虚轴长等于 4 . 6 . ACD 　 解析 当 ∠ C= 时 , e= ; 当 ∠ B= 时 , e= + 1; 当 ∠ A= 时 , e= + 2 . 7 . BCD 　 解析 双曲线的标准方程为 = 1, a= 4, b= 3, 则 c= 5, 离心率 e= ,A 错误 ; 渐近线方程为 = 0, 即 3 x ±4 y= 0,B 正确 ; |PF 1 |= 6 < 2 a= 8, P 在左支上 , |PF 2 |= 6 + 8 = 14, △ PF 1 F 2 的周长为 30,C 正确 ; |PF 1 |+|PF 2 |= 20, 因此 P 在椭圆 = 1( 此椭圆是以 F 1 , F 2 为焦点 , 长轴长为 20 的椭圆 ) 上 ,D 正确 . 8 . BCD 　 解析 ∵ 点 A (1,1) 在抛物线 C 上 , ∴ 1 = 2 p , ∴ p= , ∴ 抛物线 C 的方程为 x 2 =y. ∴ 抛