专题05 二次函数与相似三角形有关的问题（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

专题05二次函数与 相似三角形有关的问题 （知识解读） 【专题说明】 二次函数与相似三角形是中考数学的压轴题，具有一定的难度 ， 也是中考考频比较高的，本节未同学们提供解题途径，希望能够助同学们轻松解题。 【 解题思路】 关函数与相似三角形的问题一般 三个解决途径： (1)求相似三角形的第三个顶点时， 先要分析已知三角形的边和角的特 点，进而得出已知三角形是否为特 殊三角形．根据未知三角形中已知 边与已知三角形的可能对应边分类 讨论； (2)利用已知三角形中对应角，在未 知三角形中利用勾股定理、三角函 数来推导边的大小； (3)若两个三角形的各边均未给出， 则应先设所求点的坐标进而用函数 解析式来表示各边的长度，之后利 用相似来列方程求解． 【典例分析】 【 典例1】 （2019•娄底）如图，抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c 与 x 轴交于点 A （﹣1，0），点 B （3，0），与 y 轴交于点 C ，且过点 D （2，﹣3）．点 P 、 Q 是抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c 上的动点． （1）求抛物线的解析式； （ 2 ）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E ，当△ OBE 与△ ABC 相似时，求点 Q 的坐标． 【 变式1-1】 （2022•贵港）如图，已知抛物线 y ＝﹣ x 2 + bx + c 经过 A （0，3）和 B （ ，﹣ ）两点，直线 AB 与 x 轴相交于点 C ， P 是直线 AB 上方的抛物线上的一个动点， PD ⊥ x 轴交 AB 于点 D ． （1）求该抛物线的表达式； （ 2 ）若以 A ， P ， D 为顶点的三角形与△ AOC 相似，请直接写出所有满足条件的点 P ，点 D 的坐标． 【 变式1-2】 （2022•绵阳）如图，抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c 交 x 轴于 A （﹣1，0）， B 两点，交 y 轴于点 C （0，3），顶点 D 的横坐标为1． （1）求抛物线的解析式； （2）在 y 轴的负半轴上是否存在点 P 使∠ APB +∠ ACB ＝180°，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点 C 作直线 l 与 y 轴垂直，与抛物线的另一个交点为 E ，连接 AD ， AE ， DE ，在直线 l 下方的抛物线上是否存在一点 M ，过点 M 作 MF ⊥ l ，垂足为 F ，使以 M ， F ， E 三点为顶点的三角形与△ ADE 相似？若存在，请求出 M 点的坐标，若不存在，请说明理由． 【 典例2】 （2022•玉林）如图，已知抛物线： y ＝﹣2 x 2 + bx + c 与 x 轴交于点 A ， B （2，0）（ A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，对称轴是直线 x ＝ ， P 是第一象限内抛物线上的任一点． （1）求抛物线的解析式； （ 2 ）过点 P 作 x 轴的垂线与线段 BC