山东德州市第一中学2023-2024学年高三上学期1月期末考试 数学 (含参考解析)

高三数学期末试题 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 z 满足 ，则 （ ） A. i B. C. D. 1 3. 已知 p ： ， q ： ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称 “ 三才碗 ” ，蕴含了古代哲人讲的 “ 天盖之，地栽之，人育之 ” 的道理．如图是乾隆时期的山水人物方盖碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为 ﹐下底面边长为 ，高为 ，则 茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（ ） A. 7 碗 B. 8 碗 C. 9 碗 D. 10 碗 5. 实数 x ， y 满足 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 0 6. 为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计 的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的 ，那么该同学所选的函数最有可能是（ ） A. B. C D. 7. 设随机变量 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 设 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对但不全得得 2 分，有选错的得 0 分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 展开式中 项的系数为 B. 样本相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C. 根据分类变量 与 的成对样本数据计算得到 ，依据 的独立性检验 ，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为 与 独立 D. 在回归分析中，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零 10. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，过点 作 轴于点 ，则（ ） A. B. 抛物线的准线为直线 C. D. 的面积为 11. 已知函数 在 处取得最大值 2 ， 的最小正周期为 ，将 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度得到 的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 是 图象 的一条对称轴 B. C. 奇函数 D. 方程 有 3 个实数解 12. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 P 满足 ，其中 ，则（ ） A. 当 时， B. 当 ，时，点 P 到平面 距离为 C. 当 时， 平面 D. 当 时，三棱锥 的体积恒为 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在题目横线上） 13. 已知等差数列 的公差为 2 ，若 成等比数列，则 ________ . 14. 设函数 ，关于 x 的方程 有三个不等实根 ，则 的取值范围是 __________ ． 15. 已知△ ABC 中， M 为 BC 边上一个动点，若 ，则 的最小值为 _____ ． 16. 已知椭圆 与双曲线 （ ， ）具有相同的左、右焦点 、 ，点 为它们在第一象限的交点，动点 在曲线 上，若记曲线 ， 的离心率分别为 ， ，满足 ，且直线 与 轴的交点的坐标为 ，则 的最大值为 __________ . 四、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 . 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设 为数列 的前 项和， ． （1） 求数列 的通项公式； （2） 设 ，证明： ． 18. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ． （1） 求角 ； （2） 为 边上一点， ，且 ，求 的值． 19. 把矩形 以 所在的直线为轴旋转 180° ，得到几何体如图所示 . 其中等腰梯形 为下底面的内接四边形，且 ，点 G 为上底面一点，且 ， . （1） 若 P 为 的中点，求证： 平面 ； （2） 设 ， ，试确定 的值，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 . 20. 已知点 为椭圆 C ： 的左焦点， 在 C 上． （1） 求 C 的方程； （2） 已知两点 与 ，过点 A 的直线 l 与 C 交于 P ， Q 两点，且 ，试判断 mn 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 21. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展 . 某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查 . 统计其中 400 名中国轻食消费者（表中 4 个年龄段的人数各 100 人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表 . 使用频率 偶尔 1 次 30 15 5 10 每周 1~3 次 40 40 30 50 每周 4~6 次 25 40 45 30 每天 1 次及以上 5 5 20 10 （1） 若把年龄在 [12 ， 38 ）的消费者称为青少年，年龄在 的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过 3 次的称为食用轻食频率低，不低于 4 次的称为食用轻食频率高，根据小概率值 的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联； （2） 从每天食用轻食 1 次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中年龄在 与 的人数分别为 ， ， ，求 的分布列与期望； （3） 已知小李每