河北唐山市玉田县2022-2023学年高一下学期期中数学试题(含参考答案)

玉田县 2022-2023 学年度第二学期期中考试 高 — 数学 注意：本试卷考试时间 120 分钟，满分 150 ． 第 Ⅰ 卷（选择题 60 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．复数 的虚部为 A ． B ． C ． 5 D ． 2 ．已知平面向量 与 为单位向量，它们的夹角为 ，则 A ． B ． C ． D ． 3 ．将一个 长方体沿从同 一个顶点出发的三条 棱 截去一个棱 锥 ，棱 锥 的体积与剩下的几何体的体积之比为 A ． B ． C ． D ． 4 ．已知复数 满足 ，则下列结论中正确的是 A ． B ． C ． D ． 5 ．若 ， ， 向量 与向量 的夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为 A ． B ． C ． D ． 6 ．在 ，其内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 若 ，则 的形状是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．等腰直角三角形 7 ．如图所示，正方形 的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为 A ． B ． C ． D ． 8 ．如图，在 中， ， ， 交 于点 ， ，则 A ． 2 B ． C ． D ． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9 ．已知 ， ， ， ， 则 A ． B ． C ． D ． 与 夹角的余弦值为 10 ．已知 复 数 （ 为虚数单位），下列说法正确的有 A ．当 时，复平面内表示复数 的点位于第二象限 B ．当 时， 为纯虚数． C ． 最大值为 D ． 的共轭复数为 11 ．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 已知 ， ， 则下列判断中正确的是 A ．若 ，则该三角形有两解 B ．若 ，则该三角形有两解 C ． 周长有最大值 12 D ． 面积有最小值 12 ．如图所示，在坡地一定的山坡 处测得山顶上一建筑物 的顶端 对于山坡的斜度为 ，向山顶前进 到达 处，又测得 对于山坡的斜度为 ，若 ，山坡对于地平面的坡度为 ，则下列说法正确的是 A ．山坡 处与建筑物 的顶端 的距离为 米 B ．山坡 处与建筑物 的顶端 的距离为 100 米 C ． D ． 三、填空题（本大题共 4 个小题，请将正确答案填在横线上，每个小题 5 分，满分共 20 分） 13 ．若 复 数 ， （其中 为敀数单位）所对应的向量分别为 和 ，则 的 面 积为 _________ ． 14 ．在边长为 2 的等边 中， 为 的中点， 为 边上一动点，则 的最小值为 _________ ． 15 ．在 中，已知 ， 最大边与最小边 的比为 ，则该三 角 形中最大 角 的正切值是 _________ ． 16 ．如图已知圆锥的底面半径 ，高 若圆柱 内接于该圆 锥 ，则圆柱侧面积的最大值 _________ ． 三、解答 题 ：（本 题 满分 90 分，要求写出必要的步骤和过程） 17 ．（ 10 分） 已知向量 ， ． （ 1 ）若 ，求实数 的值； （ 2 ）若 ， ， 求向量 与 的夹角 ． 18 ．（ 12 分） 已知 复 数 ，求解下列问 题 ： （ 1 ）若 复 数 为纯虚数，求 的值； （ 2 ）当 时， 为实系数方程 的一个根，求 的值。 19 ．（ 12 分） 在 ① ， ② ， ③ 这三个条件中，有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问遗中，并求解．在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ． （ 1 ） 求角 ； （ 2 ）若 是 边上的一点，且 ，求 的长． 20 ．（ 12 分） 在如图所示平面图形中，弧 为四分之一圆弧， ， ， ， ， ．求将此平面图形绕 所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积． 21 ．（ 12 分） 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ， 的内切圆 的面积为 ． （ 1 ）求 的值； （ 2 ）若点 在 上，且 ， ， 三点共线，求 的值． 22 ．（ 12 分） 根据某城市的总体规划，计划将图中四边形区域 建设成生态公园，其中 ， ， ， 为公园道路（不计宽度）．已知条件： ， ， ， ． （ 1 ） 求道路 的长度； （ 2 ）如图所示，需建立一个观测站 ，并使得 ， ， 求 、 两地的最大距离． 玉田县 2022---2023 学年度第二学期期中考试 高一数学参考答案 一、 选择题 ： ADDBC CBA 9 ． ACD ， 10 ． BC ， 11 ． BC ， 12 ． AC 二、填空题： 13 ． 5 ； 14 ． ； 15 ． ； 16 ． 三、解答题： 17 ． 解：（ 1 ）已知 ， 所以 ． ……………………………………2 分 又因为 ，所以有 , …… …………… 3 分 所以 ， 可解得 或 ． …………………5 分 （ 2 ）因为 ，所以 ． ………………………………6 分 又因为 ，所以 ， 解得 ，所以 ． …………………………………………………7 分 所以 ， …… ………………… 9 分 因为 ，所以 ． …………………………………10 分 18 ．（本小题满分 12 分） 解： （ 1 ）由题意： ，满足 ， 解得 ，则 …… ………………………………… 6 分 （ 2 ）当 时， …………………………………………………8 分 为实系数方程 的一根 ………………………………………………………11 分 ………………………………………………………12 分 19 ．解 : （ 1 ） 若选 ① ，由正弦定理，可得 ， 因为 ，所以 ，可得 ． 因为 △ ABC 为锐角三角形，所以 C 无解，不符合题意． …………………