湖南长沙市2023-2024学年高三上学期数学模拟练习卷（二） (含参考解析)

2023-2024学年湖南省长沙市高三 上学期 模拟练习卷（二） 一、单选题 1．设集合 ， ， ，则 （      ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知 ，则 （      ） A． B． C． D． 4．已知数列 中，对任意 ， ，则 （      ） A． B． C． D． 5．山西五台山佛光寺大殿是庑殿顶建筑的典型代表．庑殿顶四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，又叫五脊殿．《九章算术》把这种底面为矩形，顶部为一条棱的五面体叫做“刍甍”，并给出了其体积公式： ×（2×下袤＋上袤）×广×高（广：东西方向长度；袤：南北方向长度）．已知一刍甍状庑殿顶，南北长18m，东西长8m，正脊长12m，斜脊长 m，则其体积为（      ）． A． B． C． D． 6．已知 为抛物线 的焦点，准线为 ，过焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点，点 在准线上的射影分别为 ，且满足 ，则 （      ） A． B． C．3 D． 7．已知正方形 的边长为 是它的外接圆的一条弦，点 为正方形四条边上的动点，当弦 的长度最大时， 的取值范围是（      ） A． B． C． D． 8．已知 ， ，且 成立，则下列不等式不可能成立的是（      ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知双曲线的方程为 ，则（      ） A．渐近线方程为 B．焦距为 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8 10．某校10月份举行校运动会，甲 ､ 乙 ､ 丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为 ，且每人选择相互独立，则（      ） A．三人都选择长跑的概率为 B．三人都不选择长跑的概率为 C．至少有两人选择跳绳的概率为 D．在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为 11．如图，已知 是边长为4的等边三角形， D ， E 分别是 AB ， AC 的中点，将 沿着 DE 翻折，使点 A 到点 P 处，得到四棱锥 ，则（      ） A．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3 B．存在某个点 位置，满足平面 平面 C．当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 D．当 时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为 12．已知函数 与 相交于 A ， B 两点，与 相交于 C ， D 两点，若 A ， B ， C ， D 四点的横坐标分别为 ， ， ， ，且 ， ，则（      ） A． B． C． D． 三、填空题 13． 的展开式中， 的系数等于 ．（用数字作答） 14．已知函数 ,若函数 的图象关于点 中心对称,且关于直线 轴对称,则 的最小值为 ． 15．将函数 和直线 的所有交点从左到右依次记为 ， ，…， ，若 ，则 . 16．已知椭圆 ，若此椭圆上存在不同的两点 ， 关于直线 对称，则实数 的取值范围是 . 四、解答题 17． 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 . (1)求角 C ； (2)若 ， 的面积为 ，求 c . 18．已知等差数列 和等比数列 满足， . (1)求数列 ， 通项公式 (2)设数列 中满足 ，求和 19．如图，用 四类不同的元件连接成系统 ，当元件 正常工作且元件 都正常工作，或当元件 正常工作且元件 正常工作时，系统 正常工作.已知元件 正常工作的概率依次为 . (1)求元件 不正常工作的概率； (2)求元件 都正常工作的概率； (3)求系统 正常工作的概率. 20．在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， 平面 ABCD ， .以 AC 的中点 O 为球心， AC 为直径的球面交 PD 于点 M . (1)证明： M 为 PD 的中点. (2)若二面角 B - AM - C 的余弦值为 ，求 AB . 21．已知定点 ，圆 ： ，点 Q 为圆 上动点，线段 MQ 的垂直平分线交 NQ 于点 P ，记 P 的轨迹为曲线 C ． (1)求曲线 C 的方程； (2)过点 M 与 N 作平行直线 和 ，分别交曲线 C 于点 A ， B 和点 D ， E ，求四边形 ABDE 面积的最大值． 22．已知函数 ，其中 ． (1)当 时，求函数 的单调区间； (2)已知函数 ( 是自然对数的底数)，若 ，曲线 与曲线 都有唯一的公共点，求实数 m 的取值范围． 参考答案： 1．C 【分析】根据补集的运算求得 ，再结合并集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合 ， ， ， 根据补集的运算，可得 ，则 . 故选：C. 2．D 【分析】先对复数化简，从而可得其共轭复数，进而可得答案 【详解】解：因为 ， 所以 ， 所以 对应的点位于第四象限， 故选：D 3．A 【解析】利用两角和的正弦和余弦公式求出 的值，然后利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求出 的值. 【详解】 ， ， 可得 ， . 因此， . 故选：A. 【点睛】本题考查二倍角正弦值的计算，同时也考查了两角和正弦和余弦公式的应用以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 4．D 【分析】利用 求通项公式，判断出 是等比数列，再进行求和. 【详解】∵ ①，∴ ②， ②-①得 ，∴ ． 当 时， ，符合上式， ∴ ．∴ ， ∴ ， ， ∴ 是以4为首项，9为公比的等比数列， ∴ ． 故选：D． 5．D 【分析】过点 F 作 ，垂足为 Q ，过点 F 作 FO ⊥平面 ABCD ，垂足为 O ，连接 OQ ，利用直角三角勾股定理，求出高 FO ， 代入体积公式求解即可. 【详解】如图，