湖南长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期第一次适应性检测数学试卷(含参考答案)

长郡中学2022 ～ 2023学年度高一第二学期第一次适应性检测 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分 __________ 一、选择题 （本题共8小题，每小题5分，共40分 ． 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．已知 ，i为虚数单位，则 （ ）． A ． 3 B ． 4 C ． D ． 10 2． 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 ， 则角 C 的大小为 （ ）． A ． B ． C ． D ． 3．已知平面向量 ， ，若 ，则 （ ）． A ． B ． C ． 2 D ． 4．函数 的图象大致为 （ ）． A ． B ． C ． D ． 5．已知正实数 a ， b 满足 ，则 的最小值为 （ ）． A ． 8 B．17 C．20 D．25 6．如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的体积为 （ ）． A ． B ． C ． D ． 7．已知 是偶函数且在 上单调递增，则满足 的一个 x 值的区间可以是 （ ）． A ． B ． C ． D ． 8．已知定义域为 R 的函数 满足 是奇函数， 是偶函数，则下列结论错误的是 （ ）． A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称 C． D． 的一个周期为8 二、选择题 （本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．下列结论正确的是 （ ）． A．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 B．已知平面内的一组基底 ， ，则向量 ， 也能作为一组基底 C ．已知单位向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为 D．已知 ，i为虚数单位，若复数 为纯虚数，则 10 ． 计算下列各式，结果为 的是（ ）． A ． B ． C ． D ． 11 ． 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，则下列命题为真命题的是 （ ）． A．若 ，则 B．若 ，则 是钝角三角形 C．若 ， 则 为等腰三角形 D．若 ， ， ，则满足条件的三角形有且只有一个 12 ． “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车 （ Mercedes - benz ） 的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，其定义为：已知 O 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则 ，设 O 是 是锐角 的一点， ， ， 分别是 的三个内角，以下命题正确的有 （ ）． A ． 若 ，则 B ．若 ， ， ，则 C．若 O 为 的内心， ，则 D．若 O 为 的垂心， ，则 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题 （本题共4小题，每小题5分，共20分．） 1 3．设函数 ，则 __________ ． 14 ． 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是 __________ ． 15 ． 已知命题 ， 是假命题，则实数 a 的取值范围是 __________ ． 16 ． 设锐角 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 ，则 的取值范围是 __________ ． 四、解答题 （本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17 ． （10分）已知 ， ， ． （ 1 ） 求 与 的夹角 ； （ 2 ） 若 ，且 ，求实数 t 的值． 18 ．（ 12分 ） 已知函数 ． （ 1 ） 求 的最小正周期； （ 2 ） 将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求不等式 的解集． 19 ． （12分）在 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 ． （ 1 ） 求角 B ； （ 2 ） 若 D 为 的中点，且 ， ，求 的面积． 20 ． （12分）噪声污染已经成为严重影响人们身体健康和生活质量的问题．实践证明，声音强度 D （ 分贝 ）由 公式 （ a 、 b 为非零常数 ） 给出，其中 为声音能量． （ 1 ） 当声音强度 ， ， 满足 时，求对应的声音能量 ， ， 满足的等量关系式； （ 2 ） 当人们低声说话，声音能量为 时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为 时，声音强度为40分贝，当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝至120分贝的空间内约一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪 ． 21 ． （12分）如图，直 三 棱柱 中， ， ， ， P 为线段 上的动点． （ 1 ） 当 P 为线段 上的中点时，求三棱锥 的体积； （ 2 ） 当 P 在线段 上移动时，求 的最小值． 22．（12分）定义非零向量 的“相伴函数”为 ，向量 称为函数 的“相伴向量”（其中 O 为坐标原点）．记平面内所有非零向量的“相伴函数”构成的集合为 S ． （ 1 ） 设 ，请问函数 是否存在相伴向量 ？ 若存在，求出与 共线的单位向量；若不存在，请说明理由； （ 2 ） 已知点 满足： ，向量 的“相伴函数” 在 处取得最大值，求 的取值范 围． 长 郡 中学2022 ～ 2023学年度高一第二学期第一次适应性检测 数学参考答案 一、选择题 （本题共8小题，每小题 5 分，共40分 ． 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B D C B C 1．C 【解析】因为 ，所以 ．故选 C ． 2．B 【解析】由余弦定理得 ， 因为 ，所以 ． 故选B． 3．A 【