专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用 （知识解读） 【专题说明】 一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90°，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。 【 方法技巧】 模型1 “全等型”一线三垂直模型 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 图1 应用： （1）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； （2）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直” 作辅助线的程序：过直角顶点再直角外部作水平线或竖直线，过另外两个顶点向上述直线作垂线段，即可得到“三垂直”模型。如下图所示 模型2 “相似型”一线三垂直模型 如图 ， ∽ （一线三直角） 应用： （1）“相似型”三垂直基本应用 平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直。作辅助线方法和模型1一样 （3）平面直角坐标系中运动成直角 【典例分析】 【 应用1 “全等型”三垂直基本应用 】 【 典例1】 在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，直线 MN 经过点 C ，且 AD ⊥ MN 于 D ， BE ⊥ MN 于 E ． （1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图1的位置时， 求证： ① △ ADC ≌△ CEB ； ② DE ＝ AD + BE ； （2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【 变式1-1】 如图， AC ＝ CE ，∠ ACE ＝90°， AB ⊥ BD ， ED ⊥ BD ， AB ＝6 cm ， DE ＝2 cm ，则 BD 等于（　　） A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．4 cm 【 变式1-2】 在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，直线 l 经过点 A ，过点 B 、 C 分别作 l 的垂线，垂足分别为点 D 、 E ． （1）特例体验：如图 ① ，若直线 l ∥ BC ， AB ＝ AC ＝ ，分别求出线段 BD 、 CE 和 DE 的长； （2）规律探究： （Ⅰ）如图 ② ，若直线 l 从图 ① 状态开始绕点 A 旋转 α （0＜ α ＜45°），请探究线段 BD 、 CE 和 DE 的数量关系并说明理由； （Ⅱ）如图 ③ ，若直线 l 从图 ① 状态开始绕点 A 顺时针旋转 α （45°＜ α ＜90°），与线段 BC 相交于点 H ，请再探线段 BD 、 CE 和 DE 的数量关系并说明理由； （3）尝试应用：在图 ③ 中，延长线段 BD 交线段 AC 于点 F ，若 CE ＝3， DE ＝1，求 S △ BFC ． 【 应用2 平