安徽合肥市第一中学2022-2023学年高一下学期第一次月考 数学 (含参考解析)

安徽省合肥一中 2022-2023 学年高一下学期第一次月考 数学试卷 注意事项： 1 ．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3 ．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列五个结论： ①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ②向量 ，则 与 的方向必不相同； ③ ，则 ； ④向量 是单位向量，向量 也是单位向量，则向量 与向量 共线； ⑤方向为北偏西 的向量与方向为东偏南 的向量一定是平行向量． 其中正确的有（ ） A. ①⑤ B. ④ C. ⑤ D. ②④ 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤ . 【详解】 温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错； ，但 与 的方向可以相同，故②错； 向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错； 单位向量只要求长度等于 1 个单位长度，但方向未确定，故④错； 如图，作出这两个向量， 则方向为北偏西 的向量与方向为东偏南 的向量方向相反， 所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确． 故选： C . 2. 若在△ ABC 中， ， ，且 ， ，则△ ABC 的形状是（ ） A. 正三角形 B. 锐角三角形 C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】 D 【解析】 【分析】 利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形 . 【详解】 由于 ， ， ， 则 ，即 ， 所以△ ABC 为等腰直角三角形． 故选： D ． 3. 已知 ， 均为单位向量， ，则 与 的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据 ， 求得 ，再利用向量夹角公式即可求解 . 【详解】 因为 ， 所以 ． 设 与 的夹角为 θ ，则 又因为 0°≤ θ ≤180° ，所以 θ ＝ 30° ． 故选： A 4. 如果用 分别表示 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量，且 ，则 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 先根据向量的坐标表示求出 ，再根据正交分解即可得解 . 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 . 故选： C . 5. 设平面向量 ， ，若 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 由两向量平行得出 坐标中 的 ，即可求出 的值 . 【详解】 由题意， ∵ ， ， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ∴ 故选： A. 6. 已知向量 ， ，当 取得最小值时， 的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 1 【答案】 B 【解析】 【分析】 直接利用向量数量积的坐标化运算得到 ，利用二次函数性质得到其最值. 【详解】 ， 故当 时， f ( x ) 取得最小值 2 ． 故选： B . 7. 在如图所示的半圆中， AB 为直径，点 O 为圆心， C 为半圆上一点，且 ， ，则 等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据 ，可得 ，进一步得出答案. 【详解】 如图，连接 AC ， 由 ，得 . 因为 为半圆上的点，所以 ， 所以 ． 故选： A. 8. 如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ，若 ， ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】 C 【解析】 【分析】连接 AO ，因为 O 为 BC 中点，可由平行四边形法则得 ，再将其用 ， 表示.由 M 、 O 、 N 三点共线可知，其表达式中的系数和 ，即可求出 的值. 【详解】连接 AO ，由 O 为 BC 中点可得， ， 、 、 三点共线， ， . 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 在平面直角坐标系中，若点 A (2 ， 3) ， B (-3 ， 4) ，如图所示， x 轴、 y 轴同方向上的两个单位向量分别为 和 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 AC 【解析】 【分析】 根据图象，由平面向量的坐标运算求解 . 【详解】 解：由图知， ， ，故 A 正确， B 不正确； ， ，故 C 正确， D 不正确． 故选： AC 10. 在 中，若 ，则 a 的值可以为（ ） A. B. C. · D. 【答案】 AB 【解析】 分析】 根据余弦定理，直接计算求值 . 【详解】 根据 ，得 ， 即 ，解得： 或 . 故选： AB 11. 如图，在海岸上有两个观测点 C ， D ， C 在 D 的正西方向，距离为 2 km ，在某天 10:00 观察到某航船在 A 处，此时测得∠ ADC= 30° ， 5 分钟后该船行驶至 B 处，此时测得∠ ACB= 60° ，∠ BCD= 45° ，∠ ADB= 60° ，则（ ） A. 当天 10:00 时，该船位于观测点 C 的北偏西 15° 方向 B. 当天 10:00 时，该船距