2024届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试(一)
数
学
本卷共6页,22小题,满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:1
.
答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上,将条形码横贴在答题卡
“
条形码粘贴处
”
。
2
.
作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3
.
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合
,
,则
(
)
A.
B.
或
C.
D.
2.复数
z
满足
,则
z
=(
)
A.
B.
C.
D.
3.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法有(
)
A.10种
B.20种
C.25种
D.32种
4.已知向量
,
,则
在
上的投影向量为(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知数列
为等差数列,
为其前
n
项和,
,则
(
)
A.28
B.14
C.7
D.2
6.已知
为奇函数,则
a
=(
)
A.
B.1
C.
D.2
7.已知双曲线
的右焦点为
F
,过点
F
作直线
l
与
C
交于
A
,
B
两点,若满足
的直线
l
有且仅有1条,则双曲线
C
的离心率为(
)
A.
B.
C.2
D.
或2
8.已知直三棱柱
的侧棱长为2,
,
.过
AB
,
的中点
E
,
F
作平面
α
与平面
垂直,则平面
α
截该三棱柱所得截面的周长为(
)
A.
B.
C.
D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.下列图象中,函数
的图象可能是(
)
A.
B.
C.
D.
10.为了解居民对社区环保工作的满意度,居委会从社区全体居民中随机抽取若干居民进行评分调查(满分为100分).根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图,已知评分在
内的居民有180人.则(
)
A.
B.调查的总人数为4000
C.从频率分布直方图中,可以估计本次评分的中位数大于平均数
D.根据以上抽样调查数据,可以认为该社区居民对社区环保工作的满意度符合
“
评分低于65分的居民不超过全体居民的20%
”
的规定
11.已知直线
l
:
与抛物线C:
相交于
A
,
B
两点,点
是抛物线
C
的准线与以
AB
为直径的圆的公共点,则(
)
A
.
B
.
C
.
的面积为
D
.
12.已知函数
,则(
)
A
.
B
.当
时,
C
.存在
,当
时,
D
.若直线
与
的图象有三个公共点,则
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
.
13.若角
α
的终边在第四象限,且
,则
_
_____.
14.某圆锥的侧面展开图是面积为
,圆心角为
的扇形,则该圆锥的轴截面的面积为______.
15.已知数列
的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,令
,则
取最小值时,
x
=______.
16.已知
为函数
图象上一动点,则
的最大值为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)已知锐角
的三个内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,且满足
,
,
.
(1)求
;
(2)若
,求
AD
的长.
18.(12分)已知数列
和
满足:
,
,
(
λ
为常数,且
).
(1)证明:数列
为等比数列;
(2)若
和
时,数列
的前
n
项和
取得最大值,求
.
19.(12分)有两个盒子,其中1号盒子中有3个红球,2个白球;2号盒子中有6个红球,4个白球.现按照如下规则摸球:从两个盒子中任意选择一个盒子,再从盒中随机摸出2个球,摸球的结果是一红一白.
(1)你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断,并说明理由;
(2)如果你根据(1)中的判断,面对相同的情境,作出了5次同样的判断,记判断正确的次数为
X
,求
X
的数学期望(实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时,即为判断正确).
20.(12分)如图,平行六面体
的体积为6,截面
的面积为6.
(1)求点
B
到平面
的距离;
(2)若
,
,
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
21.(12分)已知椭圆
C
的中心在坐标原点,焦点在
x
轴上,离心率为
,右焦点到右顶点的距离为1.
(1)求椭圆
C
的标准方程;
(2)若动直线
l
与椭圆
C
有且仅有一个公共点,试问:在
x
轴上是否存在两定点,使其到直线
l
的距离之积为定值?若存在,求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.
22.(12分)黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想,它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一.它与函数
(
,
,
s
为常数)密切相关,请解决下列问题:
(1)当
时,讨论
的单调性;
(2)当
时,
①
证明
有唯一极值点;
②
记
的唯一极值点为
,讨论
的单调性,并证明你
广东大湾区2023-2024学年高三上学期1月联合模拟考试(一)数学 (含参考答案)试卷word文档在线免费下载.docx