湖南永州市2024届高三上学期二模数学试题(含参考答案)

永州市 2024 年高考第二次模拟考试 数学 命题人：蒋志刚（永州四中） 周海洋（双牌二中） 陶先国（蓝山二中） 陈诗跃（永州一中） 审题人：胡元紧（永州市 教科 院） 注意事项： 1 ．全卷满分 150 分，时量 120 分钟 。 2 ．全部答 案 在答题卡上完成， 答在本 试题卷上无效 。 3 ．考试结束后，只交答题卡 。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1 ．设全集 ，集合 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2 ．己知 ，则 z 的虚部为（ ） A ． B ． C ． D ． 3 ．已知向量 ，则 在 上的投影向量为（ ） A ． B ． C ． D ． 4 ．已知函数 在区间 上单调递增，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 5 ．若正四棱锥的侧面三角形底角的正切值为 2 ，则侧面与底面的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 6 ．已知抛物线 的焦点为 F ，过点 F 且斜 率 为 的直线 l 交 C 于 A ， B 两点，点 M 在 C 的准线上， 、若 的面积为 32 ，则 （ ） A ． B ． 2 C ． D ． 4 7 ．在 中，若 ，则 的面积的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ． 8 ． 已知函数 ，下列结论正确的是（ ） A ． 的 图象 是中心对称图形 B ． 在区间 上单调递增 C ．若方程 有三个解， ，则 D ．若方程 有四个解，则 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 。 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 。 9 ． 下列结论正确的是（ ） A ．已知样本数据 的方差为 2 ， 则数据 的方差为 4 B ．已知概率 ，则 C ．样本数据 6 ， 8 ， 8 ， 8 ， 7 ， 9 ， 10 ， 8 的第 75 百 分位数为 8 . 5 D ． 己知 （ a ， b 为有理数），则 10 ．若圆锥侧面展开图是一个半径为 2 的半圆，则（ ） A ．该圆锥的母线与底面所成的角为 B ．该圆锥的体积为 C ．该圆锥的内切球的体积为 D ．该圆锥的外接球的表面积为 11 ．已知定义域为 的函数 满足 为 的导函数，且 ，则（ ） A ． 为奇函数 B ． 在 处的切线斜率为 7 C ． D ．对 12 ．在平面直角坐标系 中，已知曲线 ，与圆 相切的直线 l 交 于 P ， Q 两点，点 M ， N 分别是曲线 与 上的动点，且 ，则（ ） A ． B ． 的最小值为 2 C ． 的最小值为 D ． O 点到直线 M N 的距离为 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 。 13 ．已知 为第二象限角， ，则 __________ ． 14 ．已知 盒 中有 3 个红球， 2 个 蓝球 ，若无放回地从盒中随机抽取两次球，每次抽取一个，则第二次抽到 蓝球 的概率为 __________ ． 15 ．已知函数 有一个极值点为零点，则 __________ ． 16 ．己知数列 满足 ，则 __________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 。 17 ．（ 10 分）已知数列 的前 n 项和为 ． （ 1 ）求 的通项公式； （ 2 ） 设 ，求数列 的前 项的和． 18 ，（ 12 分）记 三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 B 为锐角， ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）求 的最小值． 19 ．（ 12 分）如图所示，在四棱锥 中， ，平面 平面 ABC ，点 F 为 BD 的中点． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）若 ， AF 与平面 ABE 所成角的正弦值为 ，求四棱锥 的体积． 20 ．（ 12 分）在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答 3 道题，若回答正确的次数不低于 2 次，该局得 3 分，否则得 1 分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为 ． （ 1 ）若甲参加了 3 局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量 X ，求 X 的分布列与期望； （ 2 ）若甲参加了 局禁毒知识挑战赛， 乙参加 了 局禁毒知识挑战赛， 记甲在 禁毒 知识挑战赛中获得的总分大于 的概率为 ，乙在 禁 毒知识挑战赛中获得的总分大于 的概率为 ，证明： ． 21 ．（ 12 分）已知椭圆 的离心率为 与，左、右焦点分别为 ，点 D 为线段 的中点，过点 且斜率为 的直线 l 交 C 于 M ， N 两点 ． 的面积最大值为 ． （ 1 ）求 C 的方程； （ 2 ）设直线 MD ， ND 分别交 C 于点 P ， Q ，直线 PQ 的斜率为 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值：若不存在，请说明理由． 22 ．（ 12 分）已知函数 ． （ 1 ）若 时， ，求实数 a 的取值范围； （ 2 ）设 ，证明： ． 永州市 2024 年高考第二次模拟考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D C B D D 二、多项选择题：本题共 4 小题，