上海金山区2024届高三上学期一模试题 数学 (含参考解析)

2023 学年第一学期质量监控 高三数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1 ～ 6 题每题 4 分，第 7 ～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1 已知集合 ， ，则 ________ ． 2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 = ________ . 3. 不等式 的解集为 _________ ． 4. 双曲线 的离心率为 ____ ． 5. 已知角 ， 的终边关于原点 O 对称，则 ______ ． 6. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中 的值 ______ ． 7. 设圆台的上底面和下底面的半径分别为 和 ，母线长为 ，则该该圆台的高为 _________ . 8. 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这五个数中随机抽取两个不同 数，则所抽到的两个数的和大于 6 的概率为 __________ （结果用数值表示）． 9. 已知函数 ( ) 在区间 上是严格增函数，且其图像关于点 对称，则 的值为 ________ ． 10. 若 ，则 ________ ． 11. 若函数 的图像关于直线 对称，且该函数有且仅有 7 个零点，则 的值为 ________ ． 12. 已知平面向量 、 、 满足 ，且 ，则 的取值范围是 ________ ． 二、选择题（本题共有 4 题，满分 18 分， 13 、 14 每题 4 分， 15 、 16 题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 对于实数 ，“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知事件 A 和 B 相互独立，且 ，则 （ ） A B. C. D. 15. 如图，在正方体 中， E 、 F 为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（ ）． A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则平面 平面 C. 若 ， ，则 面 D. 若 ， ，则 16. 设集合 ， 、 均为 的非空子集（允许 ）． 中的最大元素与 中的最小元素分别记为 ，则满足 的有序集合对 的个数为（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， 为 中点， 为 与 的交点． （1） 证明： //平面 ； （2） 求三棱锥 体积． 18. 已知数列 满足 ，且 ． （1） 求 的值； （2） 若数列 为严格增数列，其中 是常数，求 的取值范围． 19. 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图． 图 1 图 2 （1） 为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角 不能超过 ，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图 1 所示，记长方体的纵截面为矩形 ， ， ，而客户家门高度为 米，其他过道高度足够．若以倾斜角 的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由． （2） 由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运 ( 冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图 2 所示，过道宽为 米．记此冰箱水平截面为矩形 ， ．设 ，当冰箱被卡住时 ( 即点 、 分别在射线 、 上，点 在线段 上），尝试用 表示冰箱高度 的长，并求出 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到 ） 20. 已知三条直线 （ ）分别与抛物线 交于点 、 ， 为 轴上一定点，且 ，记点 到直线 的距离为 ，△ 的面积为 ． （1） 若直线 的倾斜角为 ，且过抛物线 的焦点 ，求直线 的方程； （2） 若 ，且 ，证明：直线 过定点； （3） 当 时，是否存在点 ，使得 ， ， 成等比数列， ， ， 也成等比数列？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 设函数 的定义域为 ，给定区间 ， 若存在 ，使得 ，则称函数 为区间 上的 “ 均值函数 ” ， 为函数 的 “ 均值点 ” ． （1） 试判断函数 是否为区间 上的 “ 均值函数 ” ，如果是，请求出其 “ 均值点 ” ；如果不是，请说明理由； （2） 已知函数 是区间 上的 “ 均值函数 ” ，求实数 的取值范围； （3） 若函数 （常数 ）是区间 上的 “ 均值函数 ” ，且 为其 “ 均值点 ” ． 将区间 任意划分成 （ ）份，设分点的横坐标从小到大依次为 ，记 ， ， ． 再将区间 等分成 （ ）份，设等分点的横坐标从小到大依次为 ，记 ． 求使得 的最小整数 的值 ． 2023 学年第一学期质量监控 高三数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1 ～ 6 题每题 4 分，第 7 ～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合 ， ，则 ________ ． 【答案】 【解析】 分析】 根据交集直接计算即可 . 【详解】 由题可知： ， ，所以 故答案为： 2.