吉林长春市绿园区长春市新解放学校2022-2023学年高一下学期6月期中数学试题 (含参考解析)

吉林省长春市新解放学校 2022-2023学年 下 学期 期中考试 高一数学 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数 z 满足 ，则 A． B． C． D． 2．如图， 是水平放置 的直观图，其中 ， // 轴， // 轴，则 A． B．2 C． D．4 3． 的内角 ，所对的边分别为 ，且 ，则 的值为 A． B． C． D． 4．已知 ， 是空间中两条不同的直线， ， ， 是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是 A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则 5． 已知向量 满足 则 A．3 B．49 C．6 D．7 6．在 中，若 ， ，则 A． B． C． D． 7． 如图，在梯形 ABCD 中， ， BC ＝2 AD ， DE ＝ EC ，设 ， ，则 A． B． C． D． 8．已知长方体 中， ， ，若 与平面 所成的角的余弦值为 ，则该长方体外接球的表面积为 A． B． C． D． 二、多选题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全得 2 分，有选错的得0分） 9．已知平面向量 ， ， ，下列四个命题不正确的是 A．若 ，则 B．单位向量都相等 C．方向相反的两个非零向量一定共线 D．若 ， 满足 ，且 与 同向，则 10．已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球 O 与圆台的两个底面和侧面都相切，则 A．圆台的母线长为4 B．圆台的高为4 C．圆台的表面积为 D．球 O 的 体 积为 11．已知 的内角 的对边分别为 ，则下列说法正确的是 A．若 ,则 B．若 ，则 为直角三角形 C．若 ,则 为直角三角形 D．若 ，则满足条件的 有两个 12．已知正方体 的棱长为6，点 分别是棱 的中点， 是棱 上的动点，则 A．直线 与 所成角的正切值为 B．直线 平面 C．平面 平面 D． 到直线 的距离为 三、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量 ，若 ，则 ___________. 14． 在 中，角 , , 所对边分别是 , , ，若 ，则 ___________. 15．已知复数 满足 ，则 的最大值为__________． 16．某同学为了测量天文台 的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台 A ， A 到地面的距离 为 ，在它们之间的地面上的点 （ ， ， 三点共线）处测得阳台 A ，天文台顶 的仰角分别是15°和60°，在阳台 处测得天文台顶 的仰角为30°，假设 ， 和点 在同一平面内，则该同学可测得学校天文台 的高度为______ . 四、解答题 （本大题共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分） 17．已知复数 ，其中 为虚数单位， ． (1)若 是纯虚数，求 的值； (2)若 在复平面内对应的点在第四象限，求 的取值范围． 18．已知 ， 是两个不共线的向量. (1)若 ， ， ，求证： A ， B ， D 三点共线； (2)若 和 共线，求实数 的值． 19．在 中角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， . (1)求 ； (2)若 ，求 的面积. 20．如图，在四棱锥 中，正方形 的边长为2，平面 平面 ，且 ， ，点 分别是线段 的中点. (1)求证：直线 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的大小. 21．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 ，且 ，且 ． (1)求 ； (2)若 ，且 的面积为 ，求 周长． 22．在直三棱柱 中， E 为棱 上一点， ， ， D 为棱 上一点. (1)若 ，且 D 为 靠近 B 的三等分点，求证：平面 平面 ； (2)若 △ ABC 为等边三角形，且三棱锥 的体积为 ，求二面角 的正弦 值的大小. 参考答案： 1．D 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可求出结果. 【详解】因为 ，所以 ， 故选：D 2．C 【分析】在直观图中，利用余弦定理求出 ，再由斜二测画图法求出 及 ，借助勾股定理求解作答. 【详解】在 中， ， ，由余弦定理得： ，即 ，而 ，解得 ， 由斜二测画图法知： ， ， 在 中， ，所以 . 故选：C 3．B 【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求 的值. 【详解】由正弦定理知： ，则 ， ， 所以 或 ，又 ，故 . 故选：B 4．A 【分析】设出 、 、 的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，D；根据线面关系判断A. 【详解】设平面 、 、 的法向量分别为 、 、 ，直线 ， 的方向向量为 ， ， 对于A：若 ， ，则 或 ，故A错误； 对于B：若 ，则 ，又 ，则 ，所以 ，则 ，故B正确； 对于C：若 ， ，则 ， ，又 ，则 ，所以 ，则 ，故C正确； 对于D：因 ， ，则 ， ，因此向量 、 共面于平面 ， 令直线 的方向向量为 ，显然 ， ， 而平面 ，即 、 不共线，于是得 ，所以 ，故D正确. 故选：A 5．D 【分析】根据公式 直接计算可得. 【详解】 . 故选：D 6．C 【分析】根据题意，结合正弦定理求得 ，再由余弦定理，即可求解. 【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，且 ， 由余弦定理可得： . 故选：C． 7．D 【分析】取 BC 中点 F ，先征得四边形 为平行四边形，再结合平面向量基本运算求解即可. 【详解】取 BC 中点 F ，连接 AF ，如图所示，    又因为 ， ， 所以 且 ， 所以四边形 为平行四边形， 所以 . 故选：D. 8．B 【分析】根据直线与平面所成角的定义得 ，即 ，设 ，求出 ，根据该长方体外接球的直径是 ，可求出 ，再根据球的表面