湖南长沙市雅礼中学2024届高三上学期一模数学试卷(含参考解析)

雅礼中学 2024 届高三一模 数学试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务将自己的姓名 ､准考证号填写在答题卡上 . 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 一 ､选择题 （本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 设复数 满足 ，则 （ ） A. B. C.1 D. 3. 已知 表示两条不同直线， 表示平面，则（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 4. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 函数 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A. B. C. D. 6. 甲箱中有 2 个白球和 4 个黑球，乙箱中有 4 个白球和 2 个黑球 . 先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以 表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ） A. 互斥 B. C. D. 7. 已知等差数列 （公差不为 0 ）和等差数列 的前 项和分别为 ，如果关于 的实系数方程 有实数解，那么以下 1003 个方程 中，有实数解的方程至少有（ ）个 A.499 B.500 C.501 D.502 8. 双曲线 的左 ､右焦点分别是 ，离心率为 ，点 是 的右支上异于顶点的一点，过 作 的平分线的垂线，垂足是 ， ，若 上一点 满足 ，则 到 的两条渐近线距离之和为（ ） A. B. C. D. 二 ､多选题 （本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知一组数据： ，若去掉 12 和 45 ，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ） A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第 40 百分位数不变 10. 已知函数 满足： ，则（ ） A. 曲线 关于直线 对称 B. 函数 是奇函数 C. 函数 在 单调递减 D. 函数 的值域为 11. 如图所示，有一个棱长为 4 的正四面体 容器， 是 的中点， 是 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线 与 所成的角为 B. 的周长最小值为 C. 如果在这个容器中放入 1 个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D. 如果在这个容器中放入 4 个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 三 ､填空题 （本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 在二项式 的展开式中，常数项为 __________. 13. 已知圆锥的母线长为 2 ，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时 _ _________ ，圆锥的体积最大，最大值为 __________. 14. 对于任意两个正实数 ，定义 ，其中常数 . 若 ，且 与 都是集合 的元素，则 __________. 四 ､解答题 （本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明 ､证明过程或演算步骤 . ） 15. （ 13 分）已知函数 . （ 1 ）若 是函数 的极值点，求 在 处的切线方程 . （ 2 ）若 ，求 在区间 上最大值 . 16. （ 15 分）如图，在平行六面体 中， ， ，点 为 中点 . （ 1 ）证明： 平面 ； （ 2 ）求二面角 的正弦值 . 17. （ 15 分）一个袋子中有 10 个大小相同的球，其中红球 7 个，黑球 3 个 . 每次从袋中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回 . （ 1 ）求第 2 次摸到红球的概率； （ 2 ）设第 次都摸到红球的概率为 ；第 1 次摸到红球的概率为 ；在第 1 次摸到红球的条件下，第 2 次摸到红球的概率为 ；在第 1 ， 2 次都摸到红球的条件下，第 3 次摸到红球的概率为 . 求 ； （ 3 ）对于事件 ，当 时，写出 的等量关系式，并加以证明 . 18. （ 17 分）己知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆上 . （ 1 ）求椭圆 的标准方程； （ 2 ）如图，若一条斜率不为 0 的直线过点 与椭圆交于 两点，椭圆 的左 ､右顶点分别为 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定值 . 19. （ 17 分）约数，又称因数 . 它的定义如下：若整数 除以整数 除得的商正好是整数而没有余数， 我们就称 为 的倍数，称 为 的约数 . 设正整数 共有 个正约数，即为 . （ 1 ）当 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值； （ 2 ）当 时，若 构成等比数列，求正整数 ； （ 3 ）记 ，求证： . 雅礼中学 2024 届高三一模 数学参考答案 1.A 【解析】由题知 . 2.C 【解析】由 解得 . 3.B 【解析】若 ，则 相交或平行或异面，故 错误；若 ， ，则 ，故 正确；若 ，则 或 ，故 错误；若 ， ，则 或 或 或 与 相交，故 错误 . 故选： . 4.C 【解析】因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 . 故选 C. 5.A 【解析】由函数 的数据可知，函数 ，偶函数满足此性质，可排除 ；当 时，由函数 的数据可知，函数