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湖南长沙市雅礼中学2024届高三上学期一模数学试卷(含参考解析)

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雅礼中学 2024 届高三一模 数学试卷 注意事项: 1. 答卷前,考生务将自己的姓名 、准考证号填写在答题卡上 . 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时,将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 . 一 、选择题 (本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 ,集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 设复数 满足 ,则 ( ) A. B. C.1 D. 3. 已知 表示两条不同直线, 表示平面,则( ) A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 4. 已知向量 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 5. 函数 的数据如下表,则该函数的解析式可能形如( ) -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A. B. C. D. 6. 甲箱中有 2 个白球和 4 个黑球,乙箱中有 4 个白球和 2 个黑球 . 先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,以 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球;再从乙箱中随机取出一球,以 表示从乙箱中取出的是白球,则下列结论错误的是( ) A. 互斥 B. C. D. 7. 已知等差数列 (公差不为 0 )和等差数列 的前 项和分别为 ,如果关于 的实系数方程 有实数解,那么以下 1003 个方程 中,有实数解的方程至少有( )个 A.499 B.500 C.501 D.502 8. 双曲线 的左 、右焦点分别是 ,离心率为 ,点 是 的右支上异于顶点的一点,过 作 的平分线的垂线,垂足是 , ,若 上一点 满足 ,则 到 的两条渐近线距离之和为( ) A. B. C. D. 二 、多选题 (本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分 . 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分) 9. 已知一组数据: ,若去掉 12 和 45 ,则剩下的数据与原数据相比,下列结论正确的是( ) A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第 40 百分位数不变 10. 已知函数 满足: ,则( ) A. 曲线 关于直线 对称 B. 函数 是奇函数 C. 函数 在 单调递减 D. 函数 的值域为 11. 如图所示,有一个棱长为 4 的正四面体 容器, 是 的中点, 是 上的动点,则下列说法正确的是( ) A. 直线 与 所成的角为 B. 的周长最小值为 C. 如果在这个容器中放入 1 个小球(全部进入),则小球半径的最大值为 D. 如果在这个容器中放入 4 个完全相同的小球(全部进入),则小球半径的最大值为 三 、填空题 (本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 12. 在二项式 的展开式中,常数项为 __________. 13. 已知圆锥的母线长为 2 ,则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时 _ _________ ,圆锥的体积最大,最大值为 __________. 14. 对于任意两个正实数 ,定义 ,其中常数 . 若 ,且 与 都是集合 的元素,则 __________. 四 、解答题 (本题共 5 小题,共 77 分 . 解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤 . ) 15. ( 13 分)已知函数 . ( 1 )若 是函数 的极值点,求 在 处的切线方程 . ( 2 )若 ,求 在区间 上最大值 . 16. ( 15 分)如图,在平行六面体 中, , ,点 为 中点 . ( 1 )证明: 平面 ; ( 2 )求二面角 的正弦值 . 17. ( 15 分)一个袋子中有 10 个大小相同的球,其中红球 7 个,黑球 3 个 . 每次从袋中随机摸出 1 个球,摸出的球不再放回 . ( 1 )求第 2 次摸到红球的概率; ( 2 )设第 次都摸到红球的概率为 ;第 1 次摸到红球的概率为 ;在第 1 次摸到红球的条件下,第 2 次摸到红球的概率为 ;在第 1 , 2 次都摸到红球的条件下,第 3 次摸到红球的概率为 . 求 ; ( 3 )对于事件 ,当 时,写出 的等量关系式,并加以证明 . 18. ( 17 分)己知椭圆 的离心率为 ,且点 在椭圆上 . ( 1 )求椭圆 的标准方程; ( 2 )如图,若一条斜率不为 0 的直线过点 与椭圆交于 两点,椭圆 的左 、右顶点分别为 ,直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,求证: 为定值 . 19. ( 17 分)约数,又称因数 . 它的定义如下:若整数 除以整数 除得的商正好是整数而没有余数, 我们就称 为 的倍数,称 为 的约数 . 设正整数 共有 个正约数,即为 . ( 1 )当 时,若正整数 的 个正约数构成等比数列,请写出一个 的值; ( 2 )当 时,若 构成等比数列,求正整数 ; ( 3 )记 ,求证: . 雅礼中学 2024 届高三一模 数学参考答案 1.A 【解析】由题知 . 2.C 【解析】由 解得 . 3.B 【解析】若 ,则 相交或平行或异面,故 错误;若 , ,则 ,故 正确;若 ,则 或 ,故 错误;若 , ,则 或 或 或 与 相交,故 错误 . 故选: . 4.C 【解析】因为 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 . 故选 C. 5.A 【解析】由函数 的数据可知,函数 ,偶函数满足此性质,可排除 ;当 时,由函数 的数据可知,函数
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