重庆铜梁中学、江津中学等七校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题 (含参考解析)

2022-2023 学年重庆市铜梁中学、江津中学等七校联考高一（下）期末数学试卷 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 复数 的虚部为 (    ) A. B. C. D. 2. 已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列判断错误的是 (    ) A. 若 ， ， ， ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ， ，则 3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是 (    ) A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的 C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同 4. 在 中，点 为 的重心，则 (    ) A. B. C. D. 5. 将函数 图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，再将得到的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则下列关于函数 的说法中错误的是 (    ) A. 最小正周期为 B. 对称中心为 C. 一条对称轴为 D. 在 上单调递增 6. 已知圆台上、下底面半径分别为 ， ，侧面积为 ，则这个圆台的体积为 (    ) A. B. C. D. 7. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么直线 ， 所成角为 (    ) A. B. C. D. 8. 如图，已知棱长为 的正方体 中，下列命题正确的是 (    ) A. 正方体外接球的半径为 B. 点 在线段 上运动，则四面体 的体积不变 C. 与所有 条棱都相切的球的体积为 D. 是正方体的内切球的球面上任意一点，则 长的最小值是 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求） 9. 年 月 日，国家统计局发布了我国 年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局 年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图统计图表，下列说法中正确的是 (    ) A. 年全国居民人均可支配收入逐年递增 B. 年全国居民人均消费支出 元 C. 年全国居民人均可支配收入较前一年下降 D. 年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过 10. 下列选项正确的是 (    ) A. B. C. D. 11. 已知复数 ， ，则 (    ) A. B. 若 ，则 的最大值为 C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 12. 已知函数 的部分图象如图所示，该图象与 轴的交点坐标是 ，若 的图象关于点 对称，且在区间 上单调递减，则 的值可以是 (    ) A. B. C. D. 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 某眼科医院为了了解高中学生的视力情况，利用分层抽样的方法从某高中三个年级中抽取了 人进行问卷调查，其中高一年级抽取了 人，高二年级抽取了 人，且高三年级共有学生 人，则该高中三个年级的学生总数为 ______ 人 14. 已知 ， ， ，则 ______ ． 15. 已知向量 ，并且 ，则实数 的取值范围为 ______ ． 16. 已知 的内角 、 、 所对的边分别 、 、 ，角 若 是 的平分线，交 于 ，且 ，则 的最小值为 ______ ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 本小题 分 已知向量 与 的夹角为 ， ， ． 求 在 上的投影向量的模； 求 与 的夹角的余弦值． 18. 本小题 分 从某校高一学生中抽取 名学生，获得了他们一周课外阅读时间 单位：小时 的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 组号 分组 频数 合计 求频率分布直方图中 ， 的值； 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点代替，计算样本中的 名学生该周课外阅读时间的平均数； 求出样本中的 名学生该周课外阅读时间的第 百分位数． 19. 本小题 分 如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ，侧面 是边长为 的等边三角形，底面 是正方形， 是侧棱 上的点， 是底面对角线 上的点，且 ， ． 求证： ； 求证： 平面 ； 求点 到平面 的距离． 20. 本小题 分 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． 证明： ； 若 ， ，求 的周长和面积． 21. 本小题 分 已知函数 ． 求函数 在 的值域； 若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围． 22. 本小题 分 如图，已知四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， ， ， 分别是 ， 的中点． 求证：平面 平面 ； 当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时二面角 的余弦值． 答案和解析 1. 【答案】   【解析】 解：因为复数 ． 所以复数的虚部为： ． 故选 A ． 按照平方差公式展开，求出复数的实部与虚部即可． 本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力． 2. 【答案】   【解析】 解：对于 ，若 ， ， ， ， ，则由面面平行的判定定理可得 ，故 A 正确； 对于 ，若 ， ，则由线面垂直的性质定理可得 ，故 B 正确； 对于 ，若 ， ，则 或 与 异面，故 C 错误； 对于 ，若 ， ， ， ，则由面面垂直的性质定理可得 ，故 D 正确． 故选： ． 由面面平行的判定定理可判断 ；由线面垂直的