吉林白山市2024届高三上学期第一次模拟考试 数学 (含参考解析)

2024年白山市第一次高三模拟考试 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.复数 ，则 的虚部为（ ） A. B. C.2 D. 3.已知 ， ，若 在向量 上的投影为 ，则向量 （ ） A. B. C. D. 4.2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ） A.300 B.432 C.600 D.864 5.“ ”是“方程 有唯一实根”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数 ， ， ， ，满足 ，当且仅当 时，等号成立.则函数 的最小值为（ ） A.16 B.25 C.36 D.49 7.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（ ） A.直线 与 是异面直线 B.平面 平面 C.该几何体的体积为 D.平面 与平面 间的距离为 8.不与坐标轴垂直的直线 过点 ， ，椭圆 上存在两点 ， 关于 对称，线段 的中点 的坐标为 .若 ，则 的离心率为（ ） A . B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，最终全红婵以总分438.20分夺冠.已知她在某轮跳水比赛中七名裁判给的成绩互不相等，记为 ，平均数为 ，方差为 .若7个成绩中，去掉一个最低分和一个最高分，剩余5个成绩的平均值为 ，方差为 ，则（ ） A . 一定大于 B. 可能等于 C. 一定大于 D. 可能等于 10.公差不为零的等差数列 满足 ， ，则（ ） A. B. C. D. 11.已知函数 的相邻两对称轴的之间的距离为 ，函数 为偶函数，则（ ） A. B. 为其一个对称中心 C . 若 在 单调递增，则 D.曲线 与直线 有7个交点 12.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 、 两点，若 为 的准线上任意一点，则（ ） A.直线若 的斜率为 ，则 B. 的取值范围为 C. D. 的余弦有最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.化简 ____________. 14.已知二项式 的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为_ ______. 15.在四面体 中， ， ，且满足 ， ， .若该三棱锥的体积为 ，则该锥体的外接球的体积为_ __________. 16.已知函数 的定义域为 ，且 ， ，请写出满足条件的一个 _ _____ ____（答案不唯一）， _________ . 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知等比数列 满足 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ， 其前 项和记为 ，求 . 18.（12分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 . （1）求角 ； （2）过 作 ，交线段 于 ，且 ，求角 . 19.（12分）如图所示，在矩形 中， ， ， ， 为 的中点，以 为折痕将 向上折至 为直二面角. （1）求证： ； （2）求平面 与平面 所成的锐角的余弦值. 20.（12分）俗话说：“人配衣服，马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记 ；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记 ；若 ，则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为 ，而选择了浅色后，再选西装的可能性为 . （1）求出随机变量 的分布列，并求出期望及方差； （2）求张老师当天穿西装的概率. 21.（12分）已知 ， 分别为双曲线 的左、右顶点， 为双曲线 上异于 、 的任意一点，直线 、 斜率乘积为 ，焦距为 . （1）求双曲线 的方程； （2）设过 的直线与双曲线交于 ， 两点（ ， 不与 ， 重合），记直线 ， 的斜率为 ， ，证明： 为定值. 22.（12分）已知函数 （ 为常数），函数 . （1）若函数 有两个零点，求实数 的取值的范围； （2）当 ，设函数 ，若 在 上有零点，求 的最小值. 2 024 年第一次高三模拟考试 数学监测试卷答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题