【数学】浙江省杭州地区(含周边)重点中学2024-2025学年高一下学期期中考试试题（解析版）.docx

浙江省杭州地区 ( 含周边 ) 重点中学 2024-2025 学年高一 下学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由已知 或 ， ， . 故选： B. 2. 若 a 为实数，且 ，则 （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】 C 【解析】 ∵ a 为实数，且（ 1+ ai ）（ a ﹣ i ）＝ 2 a + （ a 2 ﹣ 1 ） i ＝ 2 ， ∴ 2 a ＝ 2 且 a 2 ﹣ 1=0 ，解得 a ＝ 1 ． 故选 C ． 3. 已知向量 ， ，那么向量 在向量 上的投影向量为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】 C 【解析】由 ，得 ， ， 所以 在 上的投影向量为 . 故选： C 4. 在 中， ，则 “ ” 是 “ 是钝角三角形 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】因为 ， ，所以 ， ，即 ， 所以 是钝角三角形，当 是钝角三角形，且 时， 当 为钝角时， ，此时 . 所以 “ ” 是 “ 是钝角三角形 ” 的充分不必要条件 . 故选： . 5. 已知 ， ，则 （ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】 D 【解析】 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 故选： . 6. 若函数 （ 且 ）满足：对于任意 、 且 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】不妨设 ，由 可得 ， 所以，函数 在 上为减函数，函数 在 上为减函数，则 ，解得 ；函数 在 上为减函数，则 ；且有 ，即 ，所以有 ， 解得 . 因此，实数 的取值范围是 . 故选： C. 7. 在 中，角 的对边分别是 ，下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ， ， ，则 C. 若 ，则 是等腰三角形 D. 若 ， ，满足 有解，则 【答案】 D 【解析】对于 ： ，则角 ，所以 与 的夹角为 ， 所以 ，故 错误； 对于 ：由余弦定理得 ，即 ，解得 ， 故 错误； 对于 ：由 ，得 ，所以 ， 所以 或 ，即 或 ，即 是等腰三角形或直角三角形，故 错误； 对于 ： ，所以 ，所以 ， 又因为 ，则 ，所以 为锐角，所以 ，故 正确 . 故选： . 8. 已知函数 的 最小正 周期为 ，当 时，函数 取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由 的 最小正 周期为 ， ，得 ，所以 ； 又当 时， 取到最大值， 所以 ，解得 ， 因为 ，所以 ，故 . 所以 ， ， ， 又 ，所以 ， 所以 . 故选： A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分