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【数学理】2024年高考真题——全国甲卷 .docx

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2024 年高考全国甲卷真题 ( 理科 ) 一、单选题 1 .若 z = 5 + i ,则 i( + z ) 等于 (    ) A . 10i B . 2i C . 10 D . 2 答案   A 解析  由 z = 5 + i ⇒ = 5 - i , z + = 10 ,则 i( + z ) = 10i. 2 .已知集合 A = {1,2,3,4,5,9} , B = ,则 ∁ A ( A ∩ B ) 等于 (    ) A . {1,4,9} B . {3,4,9} C . {1,2,3} D . {2,3,5} 答案   D 解析  因为 A = {1,2,3,4,5,9} , B = { x | ∈ A } , 所以 B = {1,4,9,16,25,81} , 则 A ∩ B = {1,4,9} , ∁ A ( A ∩ B ) = {2,3,5} . 3 .若实数 x , y 满足约束条件 则 z = x - 5 y 的最小值为 (    ) A. B . 0 C .- D .- 答案   D 解析  实数 x , y 满足 作出可行域如图所示, 由 z = x - 5 y 可得 y = x - z , 即 z 的几何意义为 y = x - z 的纵截距的- 5 倍, 则该直线纵截距取最大值时, z 有最小值, 此时直线 y = x - z 过点 A , 联立 解得 即 A , 则 z min = - 5 × 1 =- . 4 .记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和,已知 S 5 = S 10 , a 5 = 1 ,则 a 1 等于 (    ) A. B. C .- D .- 答案   B 解析  由 S 10 - S 5 = a 6 + a 7 + a 8 + a 9 + a 10 = 5 a 8 = 0 ,则 a 8 = 0 , 则等差数列 { a n } 的公差 d = =- , 故 a 1 = a 5 - 4 d = 1 - 4 × = . 5 .已知双曲线的两个焦点分别为 (0,4) , (0 ,- 4) ,点 ( - 6,4) 在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 (    ) A . 4 B . 3 C . 2 D. 答案   C 解析  设 F 1 (0 ,- 4) , F 2 (0,4) , P ( - 6,4) , 则 | F 1 F 2 | = 2 c = 8 , | PF 1 | = = 10 , | PF 2 | = = 6 , 则 2 a = | PF 1 | - | PF 2 | = 10 - 6 = 4 , 则 e = = = 2. 6 .设函数 f ( x ) = ,则曲线 y = f ( x ) 在点 (0,1) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (    ) A. B. C. D. 答案   A 解析  f ′ ( x ) = , 则 f ′ (0) = = 3 , 则点 (0,1) 处的切线方程为 y - 1 = 3 x , 即 y = 3 x + 1 , 令 x = 0 ,则 y = 1 , 令 y = 0 ,则 x =- , 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S = × 1 × = . 7 .函数 f ( x ) =- x 2 + (e x - e - x )sin x 在区间 [ - 2.8,2.8] 上的大致图象为 (    ) 答案   B 解析  f ( - x ) =- x 2 + (e - x - e x )sin( - x ) =- x 2
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