哈师大附中
2023
级高一下学期开学考试
数学试卷
第
Ⅰ
卷(选择题共
58
分)
一、选择题(本大题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分
.
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1.
集合
,
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.
设
,则
“
”
是
“
”
的(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
3.
《九章算术》是我国算术名著,其中有这样的一个问题:
“
今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?
”
意思是说:
“
现有扇形田,弧长
30
步,直径
16
步,问面积是多少?
”
在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是(
)
A
B.
C.
D.
120
4.
已知函数
,则函数
减区间是(
)
A.
B.
C.
D.
5. 函数
的图象大致是( )
A
B.
C.
D.
6.
设
,
,
,则(
)
A.
B.
C.
D.
7.
已知实数
,且
,则
的最小值是(
)
A.
21
B.
25
C.
29
D.
33
8.
已知
,
,是函数
的两个零点,且
的最小值为
,若将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于原点对称,则
的最大值为(
)
A.
B.
C.
D.
二、选择题(本题共
3
小题,每小题
6
分,共
18
分
.
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求
.
全部选对的得
6
分,部分选对的得
3
分,有选错的得
0
分)
9.
已知函数
的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
,
10.
已知函数
在区间
上单调,且
,
恒成立,则下列结论正确的是(
)
A.
存在
,使得
是偶函数
B.
C.
为奇数
D.
最大值为
7
11.
已知函数
满足对任意的
都有
,
,若函数
的图象关于点
对称,且对任意的
,
,都有
,则下列结论正确的是(
)
A.
是偶函数
B.
的图象关于直线
对称
C.
D.
第
Ⅱ
卷(非选择题共
92
分)
三、填空题(本大题共
3
小题,每小题
5
分,共
15
分)
12.
将函数
的图像向左平移
个单位后得到的图像关于
y
轴对称,则
m
的最小值是
______
.
13.
(
1
)
______
.
(
2
)若
,且
,
,则
______
.
14.
对于给定的区间
,如果存在一个正的常数
,使得
都有
,且
对
恒成立,那么称函数
为
上的
“
成功函数
”.
已知函数
,若函数
是
上的
“4
成功函数
”
,则实数
的取值范围是
______
.
四、解答题(本题共
5
小题,共
77
分
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.
如图,在平面直角坐标系中,锐角
和钝角
的顶点与原点重合,始边与
轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于
,
两点,且
.
(1)
求
的值;
(2)
若点
的横坐标为
,求
的值
.
16.
已知函数
.
(1)
求函数
的最小正周期和对称中心;
(2)
设
是锐角,且
,求
的值
.
17.
某医院发热门诊改造,如图,原发热门诊是区域
,可利用部分为扇形区域
,
,
米,
米,区域
为三角形,区域
为以
为半径的扇形,且
.
(1)
若需在区域
外轮廓设置隔离带,求隔离带的总长度
;
(2)
在区域
中,设置矩形区域
作为便民门诊,求便民门诊面积
最大值
.
18.
已知函数
,
.
(1)
判断函数
的奇偶性,并说明理由;
(2)
若存在两不相等的实数
a
,
b
,使
,且
,求实数
m
的取值范围
.
19.
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受
.
形如
的数称为复数,其中
称为实部,
称为虚部,
i
称为虚数单位,
.
当
时,
为实数;当
且时,
为纯虚数
.
其中
,叫做复数
的模
.
设
,
,
,
,
,
,
如图,点
,复数
可用点
表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,
轴叫做实轴,
轴叫做虚轴
.
显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
.
按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应
.
一般地,任何一个复数
都可以表示成
的形式,即
,其中
为复数
的模,
叫做复数
的辐角,我们规定
范围内的辐角
的值为辐角的主值,记作
.
叫做复数
的三角形式
.
(1)
设复数
,
,求
、
的三角形式;
(2)
设复数
,
,其中
,求
;
(3)
在
中,已知
、
、
为三个内角
对应边
.
借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容,证明:
①
;
②
,
,
.
注意:使用复数以外的方法证明不给分
.
哈师大附中
2023
级高一下学期开学考试数学试卷
第
Ⅰ
卷(选择题共
58
分)
一、选择题(本大题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分
.
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1.
集合
,
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
求出集合
中元素范围,再求交集即可
.
【详解】
,
,
则
.
故选:
C.
2.
设
,则
“
”
是
“
”
的(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】
A
【解析】
【分析】
解不等式
得
的范围,依据小范围推出大范围的原则判定充分
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