专题突破练
22
圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
1
.
已知抛物线
E
:
x
2
=
4
y
,
点
P
(1,
-
2),
斜率为
k
(
k>
0)
的直线
l
过点
P
,
与抛物线
E
相交于不同的两点
A
,
B
.
(1)
求
k
的取值范围
;
(2)
斜率为
-k
的直线
m
过点
P
,
与抛物线
E
相交于不同的点
C
,
D
,
证明
:
直线
AC
、直线
BD
及
y
轴围成等腰三角形
.
2
.
设抛物线
C
:
x
2
=
2
py
(
p>
0)
的焦点为
F
,
点
P
(
m
,2)(
m>
0)
在抛物线
C
上
,
且满足
|PF|=
3
.
(1)
求抛物线
C
的标准方程
;
(2)
过点
G
(0,4)
的直线
l
与抛物线
C
交于
A
,
B
两点
,
分别以
A
,
B
为切点的抛物线
C
的两条切线交于点
Q
,
求
△
PQG
周长的最小值
.
3
.
设
O
是坐标原点
,
以
F
1
,
F
2
为焦点的椭圆
C
:
=
1(
a>b>
0)
的长轴长为
2
,
以
|F
1
F
2
|
为直径的圆和
C
恰好有两个交点
.
(1)
求椭圆
C
的方程
;
(2)
P
是椭圆
C
外的一点
,
过
P
的直线
l
1
,
l
2
均与椭圆
C
相切
,
且
l
1
,
l
2
的斜率之积为
m
-
1
≤
m
≤
-
,
记
u
为
|PO|
的最小值
,
求
u
的取值范围
.
4
.
已知椭圆
C
:
=
1(
a>b>
0)
的短轴长为
2,
离心率为
.
(1)
求椭圆
C
的方程
;
(2)
点
P
是椭圆
C
上一点
,
且在第一象限内
,
过
P
作直线交
y
轴正半轴于点
A
,
交
x
轴负半轴于点
B
,
与椭圆
C
的另一个交点为
E
,
且
PA=AB
,
点
Q
是点
P
关于
x
轴的对称点
,
直线
QA
与椭圆
C
的另一个交点为
F
.
①
证明
:
直线
AQ
,
AP
的斜率之比为定值
;
②
求直线
EF
的斜率的最小值
.
5
.
在平面直角坐标系
xOy
中
,
A
(
-
1,0),
B
(1,0),
C
为动点
,
设
△
ABC
的内切圆分别与边
AC
,
BC
,
AB
相切于
P
,
Q
,
R
,
且
|CP|=
1,
记点
C
的轨迹为曲线
E
.
(1)
求曲线
E
的方程
;
(2)
不过原点
O
的直线
l
与曲线
E
交于
M
,
N
,
且直线
y=-
x
经过
MN
的中点
T
,
求
△
OMN
的面积的最大值
.
6
.
在平面直角坐标系
xOy
中
,
椭圆
C
:
=
1(
a>b>
0)
的离心率为
,
短轴的一个端点的坐标为
(0,
-
1)
.
(1)
求椭圆
C
的方程
;
(2)
点
F
为椭圆
C
的右焦点
,
过椭圆
C
上一点
A
(
x
1
,
y
1
)(
x
1
y
1
≠
0)
的直线
l
1
:
x
1
x+
2
y
1
y=
2
与直线
l
2
:
x=
2
交于点
P
,
直线
AF
交椭圆
C
于另一点
B
,
设
AB
与
OP
交于点
Q
.
证明
:
①∠
AFP=
;
②
Q
为线段
AB
的中点
.
专题突破练
22
圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
1
.
(1)
解
由题意设
l
的方程为
y+
2
=k
(
x-
1),
与
x
2
=
4
y
联立得
,
x
2
-
4
kx+
4
k+
8
=
0
.
由
Δ>
0
得
k
2
-k-
2
>
0,
即
k<-
1
或
k>
2
.
又
k>
0,
所以
k
的取值范围是
(2,
+∞
)
.
(2)
证明
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
C
(
x
3
,
y
3
),
D
(
x
4
,
y
4
),
由
(1)
可得
x
1
+x
2
=
4
k.
由题意设
m
的方程为
y+
2
=-k
(
x-
1),
与
x
2
=
4
y
联立得
,
x
2
+
4
kx-
4
k+
8
=
0,
得
x
3
+x
4
=-
4
k.
k
AC
=
,
同理
k
BD
=
,
因为
k
AC
+k
BD
=
=
0,
所以直线
AC
、直线
BD
及
y
轴围成等腰三角形
.
2
.
解
(1)
由抛物线定义
,
得
|PF|=
2
+
=
3,
得
p=
2,
故抛物线
C
的标准方程为
x
2
=
4
y.
(2)
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
直线
l
的方程为
y=kx+
4,
联立
消去
x
,
得
x
2
-
4
kx-
16
=
0,
Δ>
0,
x
1
+x
2
=
4
k
,
x
1
x
2
=-
16
.
设
A
,
B
处的切线斜率分别为
k
1
,
k
2
,
则
k
1
=
,
k
2
=
,
在点
A
处的切线方程为
y-y
1
=
(
x-x
1
),
即
y=
,
①
同理
,
在点
B
处的切线方程为
y=
,
②
由
①②
得
x
Q
=
=
2
k
,
代入
①
或
②
中可得
y
Q
=kx
1
-
=y
1
-
4
-y
1
=-
4,
故
Q
(2
k
,
-
4),
即点
Q
在定直线
y=-
4
上
.
设点
G
关于直线
y=-
4
的对称点为
G'
,
则
G'
(0,
-
12),
由
(1)
知
P
(2
,2),
∵
|PQ|+|GQ|=|PQ|+|G'Q|
≥
|G'P|=
2
,
即
P
,
Q
,
G'
三点共线时等号成立
,
∴△
PQG
周长的最小值为
|GP|+|G'P|=
2
+
2
.
3
.
解
(1)
由题意可得
2
a=
2
,
故
a=
.
因为以
|F
1
F
2
|
为直径的圆和椭圆
C
恰好有两个交点
,
则
b=c
,
b
2
+c
2
=
2
b
2
=a
2
=
2,
可得
b=c=
1,
因此椭圆
C
的方程为
+y
2
=
1
.
(2)
由题意可知
,
直线
l
1
,
l
2
的斜率存在且不为零
,
设过点
P
(
x
0
,
y
0
)
的切线
l
:
y-y
0
=k
(
x-x
0
),
联立
消去
y
可得
(2
k
2
+
1)
x
2
+
4
k
(
y
0
-kx
0
)
x+
2(
y
0
-kx
0
)
2
-
2
=
0,
由于直线
l
与椭圆
C
相切
,
则
Δ=
16
k
2
(
y
0
-kx
0
)
2
-
4(2
k
2
+
1)[2(
y
0
-kx
0
)
2
-
2]
=
0,
化简并整理得
(
y
0
-kx
0
)
2
=
2
k
2
+
1
.
整理成关于
k
的二次方程得
(
-
2)
k
2
-
2
x
0
y
0
k+
-
1
=
0(
易知
x
0
≠±
),
设直线
l
1
,
l
2
的斜率分别为
k
1
,
k
2
,
易知
k
1
,
k
2
为关于
k
的二次方程
(
-
2)
k
2
-
2
x
0
y
0
k+
-
1
=
0
的两根
,
所以
k
1
k
2
=
=m
,
=m
+
1
-
2
m
,
所以
,
=
(
m+
1)
+
1
-
2
m
,
故
|PO|=
.
易知当
x
0
=
0
时
,
有
u=|PO|
min
=
.
因为
-
1≤
m
≤
-
,
所以
≤
u
≤
,
即
u
的取值范围是
[
]
.
4
.
(1)
解
由题意得
解得
所以椭圆
C
的方程为
+y
2
=
1
.
(2)
2024届高考二轮复习数学试题(新高考新教材) 专题突破练22 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题 .docx