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2024届高考二轮复习数学试题(新高考新教材) 专题突破练22 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题 .docx

同步检测 全国通用 2024年 格式: DOCX   7页   下载:0   时间:2024-03-23   浏览:14826   免费试卷
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专题突破练 22   圆锥曲线中的范围、最值、证明问题 1 . 已知抛物线 E : x 2 = 4 y , 点 P (1, - 2), 斜率为 k ( k> 0) 的直线 l 过点 P , 与抛物线 E 相交于不同的两点 A , B . (1) 求 k 的取值范围 ; (2) 斜率为 -k 的直线 m 过点 P , 与抛物线 E 相交于不同的点 C , D , 证明 : 直线 AC 、直线 BD 及 y 轴围成等腰三角形 . 2 . 设抛物线 C : x 2 = 2 py ( p> 0) 的焦点为 F , 点 P ( m ,2)( m> 0) 在抛物线 C 上 , 且满足 |PF|= 3 . (1) 求抛物线 C 的标准方程 ; (2) 过点 G (0,4) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A , B 两点 , 分别以 A , B 为切点的抛物线 C 的两条切线交于点 Q , 求 △ PQG 周长的最小值 . 3 . 设 O 是坐标原点 , 以 F 1 , F 2 为焦点的椭圆 C : = 1( a>b> 0) 的长轴长为 2 , 以 |F 1 F 2 | 为直径的圆和 C 恰好有两个交点 . (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) P 是椭圆 C 外的一点 , 过 P 的直线 l 1 , l 2 均与椭圆 C 相切 , 且 l 1 , l 2 的斜率之积为 m - 1 ≤ m ≤ - , 记 u 为 |PO| 的最小值 , 求 u 的取值范围 . 4 . 已知椭圆 C : = 1( a>b> 0) 的短轴长为 2, 离心率为 . (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 点 P 是椭圆 C 上一点 , 且在第一象限内 , 过 P 作直线交 y 轴正半轴于点 A , 交 x 轴负半轴于点 B , 与椭圆 C 的另一个交点为 E , 且 PA=AB , 点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点 , 直线 QA 与椭圆 C 的另一个交点为 F . ① 证明 : 直线 AQ , AP 的斜率之比为定值 ; ② 求直线 EF 的斜率的最小值 . 5 . 在平面直角坐标系 xOy 中 , A ( - 1,0), B (1,0), C 为动点 , 设 △ ABC 的内切圆分别与边 AC , BC , AB 相切于 P , Q , R , 且 |CP|= 1, 记点 C 的轨迹为曲线 E . (1) 求曲线 E 的方程 ; (2) 不过原点 O 的直线 l 与曲线 E 交于 M , N , 且直线 y=- x 经过 MN 的中点 T , 求 △ OMN 的面积的最大值 . 6 . 在平面直角坐标系 xOy 中 , 椭圆 C : = 1( a>b> 0) 的离心率为 , 短轴的一个端点的坐标为 (0, - 1) . (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 点 F 为椭圆 C 的右焦点 , 过椭圆 C 上一点 A ( x 1 , y 1 )( x 1 y 1 ≠ 0) 的直线 l 1 : x 1 x+ 2 y 1 y= 2 与直线 l 2 : x= 2 交于点 P , 直线 AF 交椭圆 C 于另一点 B , 设 AB 与 OP 交于点 Q . 证明 : ①∠ AFP= ; ② Q 为线段 AB 的中点 . 专题突破练 22   圆锥曲线中的范围、最值、证明问题 1 . (1) 解 由题意设 l 的方程为 y+ 2 =k ( x- 1), 与 x 2 = 4 y 联立得 , x 2 - 4 kx+ 4 k+ 8 = 0 . 由 Δ> 0 得 k 2 -k- 2 > 0, 即 k<- 1 或 k> 2 . 又 k> 0, 所以 k 的取值范围是 (2, +∞ ) . (2) 证明 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ), D ( x 4 , y 4 ), 由 (1) 可得 x 1 +x 2 = 4 k. 由题意设 m 的方程为 y+ 2 =-k ( x- 1), 与 x 2 = 4 y 联立得 , x 2 + 4 kx- 4 k+ 8 = 0, 得 x 3 +x 4 =- 4 k. k AC = , 同理 k BD = , 因为 k AC +k BD = = 0, 所以直线 AC 、直线 BD 及 y 轴围成等腰三角形 . 2 . 解 (1) 由抛物线定义 , 得 |PF|= 2 + = 3, 得 p= 2, 故抛物线 C 的标准方程为 x 2 = 4 y. (2) 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 直线 l 的方程为 y=kx+ 4, 联立 消去 x , 得 x 2 - 4 kx- 16 = 0, Δ> 0, x 1 +x 2 = 4 k , x 1 x 2 =- 16 . 设 A , B 处的切线斜率分别为 k 1 , k 2 , 则 k 1 = , k 2 = , 在点 A 处的切线方程为 y-y 1 = ( x-x 1 ), 即 y= , ① 同理 , 在点 B 处的切线方程为 y= , ② 由 ①② 得 x Q = = 2 k , 代入 ① 或 ② 中可得 y Q =kx 1 - =y 1 - 4 -y 1 =- 4, 故 Q (2 k , - 4), 即点 Q 在定直线 y=- 4 上 . 设点 G 关于直线 y=- 4 的对称点为 G' , 则 G' (0, - 12), 由 (1) 知 P (2 ,2), ∵ |PQ|+|GQ|=|PQ|+|G'Q| ≥ |G'P|= 2 , 即 P , Q , G' 三点共线时等号成立 , ∴△ PQG 周长的最小值为 |GP|+|G'P|= 2 + 2 . 3 . 解 (1) 由题意可得 2 a= 2 , 故 a= . 因为以 |F 1 F 2 | 为直径的圆和椭圆 C 恰好有两个交点 , 则 b=c , b 2 +c 2 = 2 b 2 =a 2 = 2, 可得 b=c= 1, 因此椭圆 C 的方程为 +y 2 = 1 . (2) 由题意可知 , 直线 l 1 , l 2 的斜率存在且不为零 , 设过点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线 l : y-y 0 =k ( x-x 0 ), 联立 消去 y 可得 (2 k 2 + 1) x 2 + 4 k ( y 0 -kx 0 ) x+ 2( y 0 -kx 0 ) 2 - 2 = 0, 由于直线 l 与椭圆 C 相切 , 则 Δ= 16 k 2 ( y 0 -kx 0 ) 2 - 4(2 k 2 + 1)[2( y 0 -kx 0 ) 2 - 2] = 0, 化简并整理得 ( y 0 -kx 0 ) 2 = 2 k 2 + 1 . 整理成关于 k 的二次方程得 ( - 2) k 2 - 2 x 0 y 0 k+ - 1 = 0( 易知 x 0 ≠± ), 设直线 l 1 , l 2 的斜率分别为 k 1 , k 2 , 易知 k 1 , k 2 为关于 k 的二次方程 ( - 2) k 2 - 2 x 0 y 0 k+ - 1 = 0 的两根 , 所以 k 1 k 2 = =m , =m + 1 - 2 m , 所以 , = ( m+ 1) + 1 - 2 m , 故 |PO|= . 易知当 x 0 = 0 时 , 有 u=|PO| min = . 因为 - 1≤ m ≤ - , 所以 ≤ u ≤ , 即 u 的取值范围是 [ ] . 4 . (1) 解 由题意得 解得 所以椭圆 C 的方程为 +y 2 = 1 . (2)
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