山东淄博市2023-2024学年高三上学期期末摸底质量检测试题 数学 (含参考解析)

2023—2024 学年度第一学期高三摸底质量检测 数 学 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2 ．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合 ， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 z 满足 ，则复数 （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 设随机变量 ，且 ，则 （ ） A. 0.75 B. 0.5 C. 0.3 D. 0.25 4. 已知正四棱台 的上、下底面边长分别为 2 和 4 ，若侧棱 与底面 ABCD 所成的角为 ，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等边 的边长为 ， P 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设 为等差数列 的前 n 项和，则 “ 对 ， ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数 ， 的定义域都为 ， 为 的导函数， 的定义域也为 ，且 ， ，若 为偶函数，则下列结论中一定成立的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数 ，则直线 与 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 函数 ， ，且 为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 图象的对称中心为 ， C. 图象的对称轴为 ， D. 的单调递减区间为 ， 10. 已知互不相同的 30 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的 28 个样本数据的方差为 ，平均数为 ; 去掉的两个数据的方差为 ，平均数为 ﹔原样本数据的方差为 ，平均数为 ，若 = ，则下列说法正确的是（      ） A. B. C. 剩下 28 个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D. 剩下 28 个数据的 22% 分位数不等于原样本数据的 22% 分位数 11. 如图，多面体 ，底面 为正方形， 底面 ， ， ，动点 在线段 上，则下列说法正确的是（ ） A. 多面体 的外接球的表面积为 B. 的周长的最小值为 C. 线段 长度的取值范围为 D. 与平面 所成的角的正弦值最大为 12. 已知函数 ， ，则下列说法正确 是（ ） A. 函数 与函数 有相同的极小值 B. 若方程 有唯一实根，则 a 的取值范围为 C. 若方程 有两个不同的实根 ，则 D. 当 时，若 ，则 成立 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 将序号分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 的六张参观券全部分给甲、乙等 5 人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有 ________ 种． 14. 已知圆 ，则直线 与圆 的位置关系是 __________ . 15. 已知函数 的部分图象如图所示， A ， B 分别为图象的最低点和最高点，过 A ， B 作 x 轴的垂线分别交 x 轴于点 ， ．将画有该图象的纸片沿着 x 轴折成 120° 的二面角 ，此时 ________ ． 16. 已知实数 x ， y 满足 ，则 最小值为 ________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设函数 ，其中 .已知 . （Ⅰ ）求 ； （Ⅱ ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值. 18. 如图， AB 是半球 O 的直径， ， 依次是底面 上的两个三等分点， P 是半球面上一点，且 ． （1） 证明： ； （2） 若点 在底面圆上 射影为 中点，求直线 与平面 所成的角的正弦值． 19. 设锐角 的内角 所对的边分别为 ，已知 . （1） 求证： ； （2） 求 的取值范围； （3） 若 ，求 面积的取值范围 . 20. 已知 和 均为等差数列， ， ， ，记 ， ， … ， （ n= 1 ， 2 ， 3 ， … ），其中 ， ， ， 表示 ， ， ， 这 个数中最大的数． （1） 计算 ， ， ，猜想数列 的通项公式并证明； （2） 设数列 的前 n 项和为 ，若 对任意 恒成立，求偶数 m 的值． 21. 已知函数 ． （1） 若 时，恒有 ，求 a 的取值范围； （2） 证明：当 时， ． 22. 第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛 单打规则是：若发球方胜，则发球方得 1 分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得 1 分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为 ，乙得分的概率为 ；若乙发球，乙得分的概率为