龙岩市一级校联盟
2023
—
2024
学年第二学期半期考联考
高一数学试卷
(考试时间:
120
分钟
总分:
150
分)
命题学校:永定一中
一、选择题:本题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1
.复数
A
.
B
.
C
.
D
.
2
.在△
ABC
中,内角
A
,
B
,
C
所对的边分别是
a
,
b
,
c
,若
,
,
,则
A
.
1
B
.
2
C
.
D
.
3
.若平面向量
与
的夹角是
180
°,且
,则
A
.
B
.
C
.
D
.
4
.在△
ABC
中,内角
A
,
B
,
C
所对的边分别是
a
,
b
,
c
,
,
,则该三角形的形状是
A
.直角三角形
B
.等腰三角形
C
.等边三角形
D
.等腰直角三角形
5
.已知直线
a
,
b
,
c
是三条不同的直线,平面
,
,
是三个不同的平面,下列命题正确的是
A
.若
,
,
则
B
.若
,
,则
C
.若
,
,且
,
,则
D
.
,
,
三个平面最多可将空间分割成
8
个部分
6
.已知平面上四个点
,
,
,
,则向量
在向量
上的投影向量为
A
.
B
.
C
.
D
.
7
.如图所示,在三棱柱
中,若点
E
,
F
分别满足
,
,平面
将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为
和
,则
A
.
19
∶
8
B
.
2
∶
1
C
.
17
∶
10
D
.
16
∶
11
8
.已知△
ABC
是锐角三角形,内角
A
,
B
,
C
所对应的边分别为
a
,
b
,
c
.若
且
,则△
ABC
外接圆面积的取值范围是
A
.
B
.
C
.
D
.
二、选择题:本题共
3
小题,每小题
6
分,共
18
分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
6
分,部分选对的得部分分,有选错的得
0
分.
9
.在复数范围内(
是虚数单位),下列选项正确的是
A
.
关于
x
的方程
的解为
B
.
复数
的虚部是
5
C
.
若复数
z
满足
,则
D
.已知
a
,
,若
是关于
x
的方程
的一个根,则
,
10
.在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,则下列的结论中正确的是
A
.
B
.
C
.若△
ABC
是锐角三角形,
恒成立
D
.
若
O
为△
ABC
的外心,且
,
,则
11
.如图,正方体
的棱长为
1
,
P
是线段
上的动点,则下列结论正确的是
A
.
三棱锥
的体积为定值
B
.
平面
C
.
的最小值为
D
.当
,
C
,
,
P
四点共面时,四面体
的外接球的体积为
三、填空题:本题共
3
小题,每小题
5
分,共
15
分.
12
.已知复数
(
x
,
)
,则复平面内满足
的点
Z
的集合围成的图形面积为
,则实数
.
13
.“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球,且球与圆锥的侧面及底面均相切(即圆锥的内切球).已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形,高为
,则该圆锥内切球的表面积为
.(容器壁的厚度忽略不计)
14
.在四面体
ABCD
中,
,
平面
,
E
,
F
分别为线段
AD
,
BC
的中点,现将四面体以
AB
为轴旋转,则线段
EF
在平面
上投影长度的取值范围是
.
四、解答题:本题共
5
小题,共
77
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15
.(
13
分)
已知复数
(
,
为虚数单位).
(
1
)若
为纯虚数,求实数
a
的值;
(
2
)若
,且复数
在复平面内所对应的点位于第四象限,求
a
的取值范围.
16
.(
15
分)
已知向量
,
.
(
1
)当
且
时,求
;
(
2
)当
,
时,求向量
与
的夹角的余弦值.
17
.(
15
分)
如图,梯形
ABCD
是圆台
的轴截面,
E
,
F
分别在底面圆
,
的圆周上,
EF
为圆台的母线,
,已知
,
,
G
,
H
分别为
,
BF
的中点.
(
1
)证明:平面
平面
.
(
2
)若三棱锥
C
-
GBH
的体积为
,求圆台
的侧面积.
18
.(
17
分)
如图
1
,在平面四边形
PABC
中,
,
,
.
E
是线段
PC
上靠近
P
端的三等分点,
F
是线段
CD
的中点,
.将△
PDC
沿
CD
折成四棱锥
P
-
ABCD
,连接
PA
,
PB
,
BD
,如图
2
.
图
1
图
2
(
1
)在图
2
中,证明:
平面
BDE
.
(
2
)在图
1
中,求
的值.
19
.(
17
分)
现有长度分别为
1
,
2
,
3
,
4
的线段各
1
条,将它们全部用上,首尾依次相连地放在桌面上,可组成周长为
10
的三角形或四边形.
(
1
)求出所有可能的三角形的面积.
(
2
)如图,在平面凸四边形
ABCD
中,
,
,
,
.
①当
大小变化时,求四边形
ABCD
面积的最大值,并求出面积最大时
的值.
②当
时,△
ABD
所在平面内是否存在点
P
,使得
达到最小?若有最小值,则求出该值;否则,说明理由.
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学年第二学期半期考联考
高一数学参考答案
一、选择题:本题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
B
A
B
D
A
A
D
二、选择题:本题共
3
小题,每小题
6
分,共
18
分.
题号
9
10
11
选项
BC
ACD
ABD
8
.【详解】因为
,所以
.由余弦定理得
,
所以
,即
,
由正弦定理得
,
因为
,所以
,
则
,即
.
因为△
ABC
是锐角三角形,所以
,
,所以
.
又
在
上单调递增,所以
,则
.
因为△
ABC
是锐角三角形,所以
,
,
,
所以
,由正弦定理得
,
所以
,所以
,
所以外接圆面积
.
11
.【详解】对于
A
,
定值.
对于
B
,由
平面
,平面
平面
福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题.docx