云南玉溪市2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题(含参考答案)

玉溪市 2022~2023 学年春季学期期末高一年级教学质量检测 数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分．第 I 卷第 1 页至第 2 页，第 Ⅱ 卷第 3 页至第 4 页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分 150 分，考试用时 120 分钟． 第 I 卷（选择题，共 60 分） 注意事项： 1 ．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2 ．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 3. 17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过： “ 几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿． ” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36° 的等腰三角形（另一种是顶角为 108° 的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 中， ．根据这些信息，可得 （ ） A. B. C. D. 4. 若数据 的平均数为 5 ，方差为 5 ，则 的平均数和方差分别为（ ） A. 5 ， 5 B. 15 ， 15 C. 19 ， 19 D. 19 ， 45 5. 已知两个单位向量 ， 夹角为 60° ，且满足 ，则实数 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 在三棱锥 中， 平面 ABC ， ， ，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. （ ） A. 1 B. C. 3 D. 8. 已知函数 恰有 3 个不相等的零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分） 9. 已知复数 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. 复数 的共轭复数为 C. D. 10. 以下说法正确的有（ ） A. 实数 是 成立的充要条件 B. 对 恒成立 C. 命题 “ ，使得 ” 的否定是 “ ，使得 ” D. 若 ， ，则 最小值是 9 11. 任意抛掷一枚质地均匀 骰子一次，观察其出现的基本结果，定义事件： ，事件： ，事件： ，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 事件 A ， B 相互独立 12. 已知函数 是定义在 上的奇函数，若对于任意两个实数 ，不等式 恒成立，则属于不等式 的解集的 的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 第 Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分） 注意事项： 第 Ⅱ 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知 中， ， ， ，则 ___________ ． 14. 已知函数 在 上具有单调性，则实数 的取值范围是 ____________ ． 15. 已知 ， ，则 ____________ ． 16. 如图，正方体 的棱长为 2 ， E ， F 分别为 ， 的中点， P 是底面 上一点．若 平面 BEF ，则 AP 与平面 成角的正弦值的取值范围是 ___________ ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 设 ，函数 的最小正周期为 ． （1） 求 ； （2） 求函数 在区间 上的最小值． 18. 如图，在多面体 中， 为等边三角形， ， ， ， ．求证： （1） 平面 ； （2） 平面 平面 ． 19. 某班级从 3 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 名同学参加学校组织的校史知识竞赛． （1） 求恰好抽到 2 名男生的概率； （2） 若抽到的 2 名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为 ，女生乙答对每道题的概率均为 ，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响，求甲答 3 对 2 道题且乙只答对 1 道题的概率． 20. 如图，三棱锥 的底面 是等腰直角三角形，其中 ，平面 平面 ABC ，点 E ， N 分别是 AB ， BC 的中点． （1） 证明： 平面 PAB ； （2） 求二面角 的余弦值． 21. 如图，在梯形 中， ， ， ． （1） 求 CD ； （2） 平面内点 P 在直线 CD 的上方，且满足 ，求 的最大值． 22. 一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在该片海域中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放 个单位的药剂，它在海水中释放的浓度 （克 / 升）随着时间 （天）变化的函数关系式近似为 （投放当天 ），其中 若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当海水中药剂的浓度不低于 6 （克 / 升）时，它才能起到有效治污的作用． （1） 若一次投放 2 个单位