辽宁大连市2023届高三下学期一模数学试题(含参考答案)

2023年大连市高三第一次模拟考试 数学 本试卷共6页．考试结束后，将答题卡交回 ． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区 ． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0 . 5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚 ． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 ． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 ． 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 a = （ ） A．－3 B． C．3 D． 2．如图所示的Venn图中， A ， B 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合，若 ， ，则 = （ ） A．{1，2，4，6} B．{2，4，6，9} C．{2，3，4，5，6，7} D．{1，2，4，6，9} 3．已知随机变量 ，且 ，则 = （ ） A．0 . 84 B．0 . 68 C．0 . 34 D．0 . 16 4．如图，在正方体 中，异面直线 A 1 D 与 D 1 C 所成的角为 （ ） A． B． C． D． 5．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲得到4本的概率是 （ ） A． B． C． D． 6．牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数 f （ x ）在 x 0 附近一点的函数值可用 代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程 ，选取初始值 ，在下面四个选项中最佳近似解为 （ ） A．0 . 333 B．0 . 335 C．0 . 345 D．0 . 347 7．已知对于每一对正实数 x ， y ，函数 f 满足： f （ x ）+ f （ y ）= f （ x + y ）－ xy －1，若 f （1）=1，则满足 的 n 的个数是 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知点 P 为平面直角坐标系 xOy 内的圆 上的动点，点 A （－3，2），现将坐标平面沿 y 轴折成 的二面角，则 A ， P 两点间距离的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 二．多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．在 中，若 ，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 10．阅读数学材料： “ 设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在点 P 处的离散曲率为 ，其中 为多面体 M 的所有与点 P 相邻的顶点，且平面 ，平面 ， … ，平面 和平面 为多面体 M 的所有以 P 为公共点的面． ” 解答问题：已知在直四棱柱 中，底面 ABCD 为菱形， ，则下列说法正确的是 （ ） A．四棱柱 AC 1 在其各顶点处的离散曲率都相等 B．若 AC = BD ，则四棱柱 AC 1 在顶点 A 处的离散曲率为 C．若四面体 A 1 ABD 在点 A 1 处的离散曲率为 ，则 平面 D．若四棱柱 AC 1 在顶点 A 处的离散曲率为 ，则 BC 1 与平面 的夹角为 11．定义在 上函数 ，则 （ ） A．存在唯一实数 a ，使函数 f （ x ）图像关于直线 对称 B．存在实数 a ，使函数 f （ x ）为单调函数 C．任意实数 a ，函数 f （ x ）都存在最小值 D．任意实数 a ，函数 f （ x ）都存两条过原点的切线 12．已知直线 l ： y = kx + m 与椭圆 交于 A ， B 两点，点 F 为椭圆 C 的下焦点，则下列结论正确的是 （ ） A．当 m =1时， ，使得 B．当 m =1时， ， C．当 k =1时， ，使得 D．当 k =1时， ， 三．填空题：（本大题共4小．题，每小题5分，共20分，把答 案 填在答卷纸的相应位置上） 13．若 ， ______． 14．已知单位向量 ， 的夹角为 ，若 ，则记作 ． 已知向量 ， 则 ______． 15．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线形状相同，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy ，根据图上尺寸，溢流孔 ABC 所在抛物线的方程为 ______ ，溢流孔与桥拱交点 A 的横坐标为 ______． 16．甲、乙、丙三人每次从写有整数 m ， n ， k （0< m < n < k ）的三张卡片中各摸出一张，并按卡片上的数字取出相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行，当他们做了 N （ ）次游戏后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最后一次丙摸的是 k ，那么做游戏次数是 ______． 四．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 从 ①②③ 中选择一个条件补充到题目中： ① ， ② ， ③ ， 解决下面的问题． 在 中，角 A ， B ， C 对应边分别为 a ， b ， c ，且 ______． （I）求角 A ； （II）若 D 为边 AB 的中点， ，求 b + c 的最大值． 18．（本小题满分12分） 如图，平面五边形 ABCDE 中， 是边长为2的等边三角形， ， CD = AE ，