上海市虹口区
2024
届高三下学期期中学生学习能力诊断
测试(二模)数学试卷
一
、
填空题
1.
已知
,则
________
;
【答案】
【解析】因为
,所以
故答案为:
.
2.
已知球的表面积为
,
则该球的体积为
______.
【答案】
【解析】设球半径为
,
∵
球的表面积为
,
∴
,
∴
,
∴
该球的体积为
.
故答案为
.
3.
过抛物线
焦点的弦
的中点横坐标为
,则弦
的长度为
__________.
【答案】
【解析】抛物线
的准线方程为
,设
,
,
则
,所以
,所以
.
故答案为:
.
4.
已知集合
,则
__________.
【答案】
【解析】
,
,
所以
.
故答案为:
.
5.
已知随机变量
,且
,则
__________.
【答案】
12
【解析】随机变量
,
,
,
则
.
故答案为:
12
6. 3
个男孩和
3
个女孩站成一排做游戏,
3
个女孩不相邻的站法种数为
__________.
【答案】
144
【解析】先将
3
个男孩站成一排,有
种方法,
将
3
个女孩插入
3
个男孩形成的
4
个空位中,有
种方法,
故一共有:
种
.
故答案为:
144
7.
已知一个三角形的三边长分别为
,
,
,则这个三角形外接圆的直径为
__________.
【答案】
【解析】不妨设
中
,
,
,
由余弦定理
,即
,
解得
,又
,
所以
,
由正弦定理
,
即这个三角形外接圆的直径为
.
故答案为:
8.
已知等比数列
是严格减数列,其前
项和为
,若
成等差数列,则
__________.
【答案】
3
【解析】因为
成等差数列,
故
,即
,
解得:
或
.
因为等比数列
是严格减数列,且
,故
.
所以
.
故答案为:
3
9.
已知平面向量
满足
,若平面向量
满足
,则
的最大值为
__________.
【答案】
【解析】如图,设
,
因为
,
所以
,故
,
如图,以点
为原点,
为
轴的正方向建立平面直角坐标系,
则
,设
,由
,得
,
所以点
的轨迹是以点
为圆心,
为半径的圆,
表示
两点间的距离,
所以
的最大值为
.
故答案为:
.
10.
从某个角度观察篮球(如图
1
),可以得到一个对称
平面图形,如图
2
所示,篮球的外轮廓为圆
O
,将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆
O
的交点将圆
O
的周长八等分,且
,则该双曲线的离心率为
__________
.
【答案】
【解析】设圆
O
半径为
r
,双曲线方程为
因为
,
所以
由题意可知,
,代入方程
,得
解得
,所以
故答案为:
11.
如图,在直四棱柱
中,底面
为菱形,且
.
若
,点
为棱
的中点,点
在
上,则线段
的长度和的最小值为
__________.
【答案】
【解析】取
的中点
,连接
、
、
(数学试题试卷)上海市虹口区2024届高三下学期期中学生学习能力诊断测试(二模)试卷(解析版).docx