湖北八市2023届高三下学期3月联考试题 数学(含参考答案)

2023年湖北省八市高三（3月）联考 数学试卷 2023.3 命题人：熊晓敏 童云霞 胡鑫 本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名 ､准考证号填写在试卷和答题卡上 ，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷 ､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 . 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷 ､草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一 ､选择题 ：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若 （ 为虚数单位），则 （ ） A. B. C. D. 3.已知两个非零向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D.3 4.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 5.将顶点在原点，始边为 轴非负半轴的锐角 的终边绕原点逆时针转过 后，交单位圆于点 ，那么 的值为（ ） A. B. C. D. 6.甲 ､乙､丙､丁､戊 5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在 小区的概率为（ ） A. B. C. D. 7.设 ，则（ ） A. B. C. D. 8.如图， 为双曲线的左右焦点，过 的直线交双曲线于 两点， 为线段的 中点，若对于线段 上的任意点 ，都有 成立，且 内切圆的圆心在直线 上.则双曲线的离心率是（ ） A. B. C.2 D. 二 ､多选题 ：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 A =“第一次出现2点”， B =“第二次的点数小于5点”， C =“两次点数之和为奇数”， D =“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ） A. A 与 B 不互斥且相互独立 B. A 与 D 互斥且不相互独立 C. B 与 D 互斥且不相互独立 D. A 与 C 不互斥且相互独立 10.已知函数 ，将 图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，若 在 上恰有一个极值点，则 的取值可能是（ ） A.1 B.3 C.5 D.7 11.在棱长为2的正方体 中， 为 中点， 为四边形 内一点（含边界），若 平面 ，则下列结论正确的是（ ） A. B.三棱锥 的体积为 C.线段 最小值为 D. 的取值范围为 12.设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ，且 与 均为偶函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三 ､ 填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知二项式 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中 项的系数为20，则实数 的值为__________. 14.已知函数 ，若 存在四个不相等的实根 ，且 ，则 的最小值是__________. 15.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与该抛物线交于 两点， 的中点纵坐标为 ，则 __________. 16.高斯函数 是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中 表示不超过 的最大整数，如 .已知 满足 ，设 的前 项和为 的前 项和为 .则（1） __________；（2）满足 的最小正整数 为__________. 四 ､解答题 ：共70分.解答应写出文字说明 ､证明过程或演算步啝 . 17.（10分） 在 中，记角 的对边分别为 ，已知 ，且 ，点 在线段 上. （1）若 ，求 的长； （2）若 的面积为 ，求 的值. 18.（12分） 已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 为等差数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若 为正整数，记集合 的元 素 个数为 ，求数列 的前50项和. 19.（12分） 如图所示，六面体 的底面 是菱形， ，且 平面 ，平面 与平面 的交线为 . （1）证明：直线 平面 . （2）已知 ，三棱锥 的体积 ，若 与平面 所成角为 ，求 的取值范围. 20.（12分） 3月14日为国际数学日，也称为 节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（7）班派出甲 ､乙两个小组参赛 ，在初赛中，若甲 ､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是 ，通过第二轮比赛的概率分别是 ，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响 （1）若三（7）获得决赛资格的小组个数为 X ，求 X 的数学期望； （2）已知甲 ､乙两个 小组在决赛中相遇.决赛以三道抢答题形式进行，抢到