江西九江市2023届高三下学期第二次高考模拟统一考试 数学（理）(含参考答案)

九江市 2023 年第二次高考模拟统一考试 数学试题（理科） 本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 考生注意： 1 ．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上． 2 ．第 Ⅰ 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第 Ⅱ 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 第 Ⅰ 卷（选择题 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 z 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知实数 x ， y 满足条件 ，则 的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知命题 ： ， ，若 p 为假命题，则实数 a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 执行下边 程序框图，如果输入的是 ， ，输出的结果为 ，则判断框中 “ ” 应填入的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知变量的关系可以用模型 拟合，设 ，其变换后得到一组数据如下．由上表可得线性回归方程 ，则 （ ） x 1 2 3 4 5 z 2 4 5 10 14 A. B. C. D. 8. 如图，正方体 的棱长为 2 ， M 是面 内一动点，且 ，则 的最小值为（ ） A B. C. D. 2 9. 青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为 ，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同长度为 的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为 ，则该抛物线的通径长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 10. 在 中，三内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，已知 ， ．当 B 取最小值时， 的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 11. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ， M 双曲线 C 左支上一点，且 ，点 F 关于直线 对称的点在 y 轴上，则 C 的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 设 ， ， ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 第 Ⅱ 卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22-23 题为选考题，学生根据要求作答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 的展开式中，常数项是_________. 14. 已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 ， 的夹角为 ______ ． 15. 函数 的所有零点之和为 ______ ． 16. 根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图 1 所示，一个容器是半径为 R 的半球，另一个容器是底面半径和高均为 R 的圆柱内嵌一个底面半径和高均为 R 的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图 2 ，一个圆柱形容器的底面半径为 ，高为 ，里面注入高为 的水，将一个半径为 的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为 ______ ．（注： ） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知公差不为零的等差数列 中， ，且 成等比数列，记 ． （1） 求 的通项公式； （2） 求 前 n 项和的最值． 18. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ， D 为棱 的中点． （1） 求证： 平面 ； （2） 在棱 BC 上是否存在异于点 B 的一点 E ，使得 DE 与平面 所成的角为 ？若存在，求出 的值若存在，请说明理由． 19. 现有编号为 2 至 5 号的黑色、红色卡片各一张．从这 8 张卡片中随机抽取三张，若抽取的三张卡片的编号和等于 10 且颜色均相同，得 2 分；若抽取的三张卡片的编号和等于 10 但颜色不全相同，得 1 分；若抽取的三张卡片的编号和不等于 10 ，得 0 分． （1） 求随机抽取三张卡片得 0 分的概率； （2） 现有甲、乙两人从中各抽取三张卡片，且甲抽到了红色 3 号卡片和红色 5 号卡片，乙抽到了黑色 2 号卡片，求两人的得分和 X 的分布列和数学期望． 20. 如图，已知椭圆 的离心率为 ，直线 l 与圆 相切于第一象限，与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，与圆 相交于 M ， N 两点， ． （1） 求椭圆 C 标准方程； （2） 当 面积取最大值时（ O 为坐标原点），求直线 l 的方程． 21 已知函数 ， ． （1） 若直线 与曲线 相切，求 a 的值； （2） 用 表示 m ， n 中的最小值，讨论函数 的零点个数． 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 22. 在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的方程为 ，曲线 C 的参数方程为 （ α 为参数）．以 O 为极点， x 轴