广东2023届高三下学期一模试题 数学(含参考答案)

2023 年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一） 数 学 一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，则下列 Venn 图中阴影部分可以表示集合 的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A B. C. D. 3. 已知函数 若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示是中国 2012-2021 年汽车进､出口量统计图，则下列结论错误的是（ ） A. 2012-2021 年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的 B. 从 2018 年开始，中国汽车的出口量大于进口量 C. 2012-2021 年中国汽车出口量的第 60 百分位数是 106 万辆 D. 2012-2021 年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差 5. 在复平面内，已知复数 满足 （ 为虚数单位），记 对应的点为点 对应的点为点 ，则点 与点 之间距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字 的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为 5 ”的不同的排法有（ ） A. 96 种 B. 64 种 C. 32 种 D. 16 种 7. 已知双曲线 ，点 的坐标为 ，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 水平桌面上放置了 4 个半径为 2 的小球， 4 个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切 . 若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ） A 4 B. C. D. 6 二､多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在 时刻相对于平衡位置的高度 可以田 确定，则下列说法正确的是（ ） A. 小球运动的最高点与最低点的距离为 B. 小球经过 往复运动一次 C. 时小球是自下往上运动 D. 当 时，小球到达最低点 10. 在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是正方形，若 ，则（ ） A B. 与 所成角为 C. 与平面 所成角为 D. 与平面 所成角的正切值为 11. 已知拋物线 焦点为 ，点 与点 关于原点对称，过点 的直线 与抛物线 交于 两点（点 和点 在点 的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. 若 为△ 的中线，则 B. 若 为 的角平分线，则 C. 存在直线 ，使得 D. 对于任意直线 ，都有 12. 已知定义在 上的函数 ，对于给定集合 ，若 ，当 时都有 ，则称 是 “ 封闭 ” 函数 . 则下列命题正确的是（ ） A. 是 “ 封闭 ” 函数 B. 定义在 上的函数 都是 “ 封闭 ” 函数 C. 若 是 “ 封闭 ” 函数，则 一定是 “ 封闭 ” 函数 D. 若 是 “ 封闭 ” 函数 ，则 不一定是 “ 封闭 ” 函数 三､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置上 . 13. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为 ___________ . 14. 在平面直角坐标系中，等边三角形 的边 所在直线斜率为 ，则边 所在直线斜率的一个可能值为 ___________ . 15. 已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减， 为偶函数，若 在 上恰好有 4 个不同的实数根 ，则 ___________ . 16. 已知动圆 经过点 及原点 ,点 是圆 与圆 的一个公共点,则当 最小时,圆 的半径为 ___________ . 四､解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 . 17. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 . （1） 求角 的大小； （2） 求 的取值范围 . 18. 已知各项都是正数 数列 ，前 项和 满足 . （1） 求数列 的通项公式 . （2） 记 是数列 的前 项和， 是数列 的前 项和 . 当 时，试比较 与 的大小 . 19. 如图所示的在多面体中， ，平面 平面 ，平面 平面 ，点 分别是 中点 . （1） 证明：平面 平面 ； （2） 若 ，求平面 和平面 夹角的余弦值 . 20. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放 10 个大小相同的小球，其中 5 个为红色， 5 个为白色 . 抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球 . 如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖 . （1） 若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 的分布列和数学期望 . （2） 若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数 的分布列和数学期望 . （3） 如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由 . 21. 已知点 ，点 和点 为椭圆 上不同的三个点 . 当点 ，点 B 和点 C 为椭圆的顶点时， △ ABC 恰好是边长为 2 的等边三角形 . （1） 求椭圆 标准方程； （2） 若 为原点，且满足 ，求 的面积 . 22. 已知函数 . （1） 求 的极值； （2） 当 时， ，求实数 的取值范