吉林长春市2023届高三下学期5月四模数学试题(含参考答案)

长春市 2023 届高三质量监测（四） 数学 本试卷共 4 页 ． 考试结束后，将答题卡交回 ． 注意事项： 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2 ．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3 ．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4 ．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5 ．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ． 已知集合 ， ， ，则 （ ）． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 2 ． 函数 的 图象 可能是 （ ）． A ． B ． C ． D ． 3 ． 已知复数 ，则复数 （ ）． A ． B ． 10 C ． D ． 2 4 ． 某高中社会实践小组为课题“高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研，利用课间分别对高一、高二、高三年级进行随机采访，按年级人数比例进行抽样，各年级分别有效采访 56 人、 62 人、 52 人，经计算各年级周末作业完成时间分别为（平均） 3 小时、 3 . 5 小时、 4 . 5 小时，则估计总体平均数是 （ ）． A ． 3 . 54 小时 B ． 3 . 64 小时 C ． 3 . 67 小时 D ． 3 . 72 小时 5 ． 设 ，曲线 ，则下列说法正确的为 （ ）． A ． 曲线 C 表示双曲线的概率为 B ． 曲线 C 表示椭圆的概率为 C ． 曲线 C 表示圆的概率为 D ． 曲线 C 表示两条直线的概率为 6 ． 我国古代数学家 僧 一行应用“九服 晷 影算法”在《大衍历》中建立了 晷 影长 l 与太阳天顶距 的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表 ． 根据三角学知识可知， 晷 影长度 l 等于表高 h 与太阳 天顶距 正切值的乘积，即 ，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为 、 ，若第一次的“晷影长”是“表高”的 3 倍，且 ，则第二次“晷影长”是“表高”的（ ） 倍 ． A ． 1 B ． C ． D ． 7 ． 如图，在平行四边形 中， M ， N 分别为 ， 上的点，且 ， ，连接 ， 交于 P 点，若 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 8 ． 已知正方体 的棱长为 1 ，点 M ， N 分别为线段 ， 上的动点，点 T 在平面 内，则 的最小值是 （ ） A ． B ． C ． D ． 1 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中有多个选项是符合题目要求的． 9 ． 若 的展开式中第 5 项与第 6 项的二项式系数相等，则下列说法正确的是 （ ）． A ． B ． 展开式中各项系数和为 C ． 展开式中常数项为 D ． 展开式中各二项式系数和为 10 ． 有两批种子， 甲批种子 15 粒，能发芽的占 80 ％ ， 乙批种子 10 粒，能发芽的占 70 ％ ，则下列说法正确的有 （ ）． A ． 从甲批种子 中任取两粒，至少一粒能发芽的概率是 B ． 从乙批种子 中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是 C ． 从甲乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是 D ． 如果将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为 11 ． 下列命题中正确的是 （ ）． A ． 已知随机变量 ，且满足 ，则 B ． 已知一组数据： 7 ， 8 ， 4 ， 7 ， 2 ， 4 ， 5 ， 8 ， 6 ， 4 ，则这组数据的第 60 百 分位数是 6 C ． 已知随机变量 ，则 D ． 某学校有 A ， B 两家餐厅，某同学第 1 天午餐时间随机地选择一家餐厅用餐，如果第 1 天去 A 餐厅，那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0 . 8 ，如果第一天去 B 餐厅，那么第 2 天去 B 餐厅的概率为 0 . 4 ，则该同学第 2 天去 B 餐厅的概率为 0 . 3 12 ． 已知正项数列 的前 n 项和为 ，且有 ，则下列结论正确的是 （ ）． A ． B ． 数列 为等差数列 C ． D ． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ． 已知 ， ， ，则 a ， b ， c 的大小关系为 __________ ． 14 ． 若 ， ， 则 的最小值为 __________ ． 15 ． 已知不等式 对任意 恒 成立，则实数 a 的取值范围是 __________ ． 16 ． 已知圆 C 的圆心在抛物线 上运动，且圆 C 过定点 ，圆 C 被 x 轴所截得的弦为 ，设 ， ，则 的取值范围是 _________ _ ． 四、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 ． （本小题满分 10 分） 已知函数 的最小值为 ． （ 1 ）求函数 的最大值； （ 2 ）把函数 的图像向右平移 个 单位，可得函数 的图像，且函数 在 上为增函数，求 的最大值 ． 18 ． （本小题满分 12 分） 已知数列 是公差为正数的等差数列，且 ， ． （ 1 ）求 的通项公式； （ 2 ）求证： ． 19 ． （本小题满分 12 分） 现有两个口袋， A 口袋中有 m 个 球，一部分是红球，另一部分是白球，从中取出一个球恰好是白球的概率为 ， B 口袋中有 6 个球， 4 个红球， 2 个白球 ． 若将两个口袋混合在一起，从