江西吉安市第一中学2023-2024学年高三下学期期中考试数学试题.docx

高三数学试卷 命题人： 审题人： 备课组长： 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．已知集合 ， ，则 A ． B ． C ． D ． 2 ．设 为单位向量， ，当 的夹角为 时， 在 上的投影向量为 A ． B ． C ． D ． 3 ．若互不相等的正数 满足，则 成等比数列 A ． 成等差数列 B ． 成等比数列 C ． 成等 比 数列 D ． 4 ．双曲线 的离心率 e 的可能取值为 A ． B ． C ． D ． 2 5 ．已知函数 ，若 的值域是 ，则 的值为 A ． B ． C ． D ． 6 ．在 中， “ 是正三角形 ” 是 “ A ， B ， C 成等差数列且 成等比数列 ” 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．某校高三年级有 8 名同学计划高考后前往武 功 山 ､ 黄山 ､ 庐山三个景点旅游 . 已知 8 名同学中有 4 名男生， 4 名女生 . 每个景点至少有 2 名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生 不去同一处景点游玩，女生 与女生 去同一处景点游玩，则这 8 名同学游玩行程的方法数为 A ． 564 B ． 484 C ． 386 D ． 640 8 ．如图，在棱长为 的正方体 中，点 E ， F 在线段 BD 上，点 H ， G 分别在线段 AD ， AB 上，且 ， ， ，动点 P 在平面 内．若 PH ， PG 与平面 所成的角相等，则 BP 的最小值是 A ． B ． C ． 5 D ． 二、多项选择题：本题共３小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分答对得部分分． 9 ．已知复数 满足 ，则 A ． B ． C ． D ． 10 ．已知 ，且 ，则 A ． 的最大值为 2 B ． 可能为 3 C ． 的最大值为 2 D ． 的最小值为 6 11 ．已知 为坐标原点，抛物线 上一点 到其准线的距离为 3 ，过 的焦点 的直线交 于 两点，则下列选项正确的是 A ．过点 且与抛物线 仅有一个公共点的直线有 3 条 B ．当 时， C ． 为钝角三角形 D ． 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 ．将函数 图象向右平移 个单位，得到的图象关于直线 对称，则 的最小值为 ． 13 ．用模型 拟合一组数据组 ，其中 . 设 ，变换后的线性回归方程为 ，则 ． 14 ．已知向量 满足 ， ，则 的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 ． （ 13 分） 如图， ， 分别是直径 的半圆 上的点，且满足 ， 为等边三角形，且与半圆 所成二面角的大小为 ， 为 的中点． （1） 求证： 平面 ； （2） 在弧 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出点 到平面 的距离；若不存在，说明理由． 16 ． （ 1 5 分） 某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示． 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0. 1 0.2 0.3 比赛胜率 0.6 0. 7 0.7 0.7 （1） 当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率． （ 2 ） 当甲出场比赛时， 求 该运动队 在四场比赛中（每场比赛相互独立）至少 获胜 2场 的概率． （ 3 ） 如果你是教练员，将如何安排运动员甲比赛时的位置？并说明理由． 17 ． （ 1 5 分） 已知函数 （1） 讨论 的单调性； （2） 若对任意 ，有 恒成立，求整数 m 的最小值 18 ． （ 1 7 分） 已知 T 是 上的动点（ A 点是圆心） . 定点 ，线段 TB 的中垂线交直线 TA 于点 P . （1） 求 P 点轨迹 ； （2） 已知直线 的方程 ，过点 B 的直线 （ 不与 轴重合 ） 与 曲线 相交于 M，N 两点，过点 M 作 ，垂足为 ①求证：直线 ND 过定点 ，并求出定点 的坐标； ②点 为坐标原点，求 面积的最大值 . 19 ． （ 1 7 分） 已知数列 的前 项和为 ，满足 ；数列 满足 ，其中 . （1） 求数列 的通项公式； （2） 对于给定的正整数 ，在 和 之间插入 个数 ，使 ， 成等差数列 . （ i ）求 ； （ ii ）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，说明理由 . 高三数学参考答案 1 ． D 【分析】根据一元二次不等式解法和指数函数图象性质求出集合 ，即可求得结果 . 【详解】解不等式 可得 M= ， 由指数函数 的值域可得 ，   故选： D 2 ． A 【分析】根据题意，结合向量投影的概念与计算，即可求解 . 【详解】由设 为单位向量， ，当 的夹角为 时， 所以 在 上的投影向量为 . 故选： A ． 3 ． D 【分析】根据 得到 ， 故选： D 4 ． A 【分析】由题得到 或 ，再利用离心率 ，即可求出结果 . 【详解】由 ，得到 或 ， 当 时， ， 当 ，双曲线 ， ， 所以 ， 故选： A. 5 ． C 【分析】画出函数图像 。 6 ． C 【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得 . 【详解】在 中，由