湖北高中名校联盟2023-2024学年高三下学期3月一模测评试题 数学(含参考答案)

2024届高三三月联合测评 数学试卷 本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟． 考试时间：2024年3月27日下午15：00—17：00 注意事项： 1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数 ，则 （ ） A．0 B．2 C． D． 2．已知集合 ， ，若定义集合运算： ，则集合 的所有元素之和为（ ） A．6 B．3 C．2 D．0 3．画 条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ） A． 部分 B． 部分 C． 部分 D． 部分 4．某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长（分钟） 60 150 30 60 10 90 120 则（ ） A．运动时长的第30百分位数是30 B．运动时长的平均数为60 C．运动时长的极差为120 D．运动时长的众数为60 5．已知数列 中， ， ， ，则下列说法不正确的是（ ） A． B． C． 是等比数列 D． 6．若 ，则 （ ） A．88 B．87 C．86 D．85 7．已知函数 ， ，若 有两个零点 ，则（ ） A． B． C． D． 8．以 表示数集 中的报小值，已知不全为0的实数 x ， y ，二元函数 ，则 的最大值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数 为函数 的一个极值点，则（ ） A． B． C． D． 10．已知抛物线 ，过 的焦点 的直线 与 交于 A ， B 两点，设 的中点为 ，分别过 A ， B 两点作抛物线的切线 ， 相交于点 ，则（ ） A．点 必在抛物线的准线上 B． C． 面积的最小值为 D．过 作直线 的平行线交 轴于点 ，则 11．已知函数 ，则（ ） A．当 时，方程 无解 B．当 时，存在实数 使得函数 有两个零点 C．若 恒成立，则 D．若方程 有3个不等的实数解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列 中， ， ， ，则 的前 项和 __________． 13．已知直线 与椭圆 交于 A ， B 两点，与椭圆 交于 C ， D 两点，若 ，则实数 __________． 14．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，且下底面边长为4，上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为2，则该拟柱体的体积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解笞应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， ，且 ． （1）判断 的形状； （2）若 在边 上，且 ， ，以 和 为边，，向外作两个正方形，求这两个正方形面积和的最小值． 16．（15分） 如图，已知三棱锥 中，平面 底面 ， 平面 ，且 ， ． （1）求三棱锥 的体积； （2）已知 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值． 17．（15分） 已知函数 ． （1）证明：函数 有三个不同零点的必要条件是 ； （2）由代数基本定理， 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 个根（重根按重数计算）． 若 ，证明：方程 至多有3个实数根． 18．（17分） 在平面直角坐标系内，以原点 为圆心， a ， b （ ， ， a ， b 为定值）为半径分别作同心圆 ， ，设 为圆 上任一点（不在 轴上），作直线 ，过点 作圆 的切线 与 轴交于点 ，过圆 与 轴的交点 作圆 的切线 与直线 交于点 ，过点 ， 分别作 轴， 轴的垂线 交于点 ． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）设 ，点 ， ，过点 的直线与轨迹 交于 A ， B 两点（两点均在 y 轴左侧）． （i）若 ， 的内切圆的圆心的纵坐标为 ，求 的值； （ii）若点 是曲线 上（ 轴左侧）的点，过点 作直线与曲线 在 处的切线平行，交 于点 ，证明： 的长为定值． 19．（17分） 设 的所有可能取值为 ，称 （ ）为二维离散随机变量 的联合分布列，用表格表示为： Y X … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义 ，对于固定的 ，若 ，则称 为给定 条件下的 条件分布列． 离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下： ． （1）设二维离散随机变量 的联合分布列为 Y X 1 2 3 4 1 0.1 0.3 0.2 0.6 2 0．05 0.2 0.15 0.4 0.15 0.5 0.35 1 求给定 条件下的 条件分布列； （2）设 为二维离散随机变量，且 存在，证明： ； （3）某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道