绝密
★
启用前(全国卷)
文科数学试卷
注意事项:
1
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
.
2
回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
.
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号
.
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效
.
3
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
.
一、选择题:本题共
12
小题,每小题
5
分,共
60
分
.
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
.
1.
已知集合
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.
已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
3.
已知函数
的导数为
,若
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.
已知椭圆
的焦距为
2
,且
,则
的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
5.
乒乓球被誉为我国的
“
国球
”
,一个标准尺寸乒乓球的直径是
,其表面积约为(
)
A.
B.
C.
D.
6.
设
满足约束条件
,则
的最大值为(
)
A.
B.
1
C.
D.
2
7.
已知等比数列
是递减数列,且
,则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
8.
已知
,且
,则(
)
A.
B.
C.
D.
9.
已知
,则(
)
A.
B.
C.
D.
10.
已知
分别为双曲线
的左、右焦点,
为
的右支上一点,且
,则
到直线
的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
11.
已知一组样本数据
的方差为
10
,且
,则样本数据
的方差为(
)
A.
9.2
B.
10.8
C.
9.75
D.
10.25
12.
等边
的边长为
5
,点
在平面
上,点
在
的同一侧,且边
在
上的射影长分别为
3
,
4
,则边
在
上的射影长为(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题:本题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分
.
13.
已知向量
,则
______
.
14.
记
为等差数列
前
项和,若
,则
______
.
15.
在棱长为
2
的正方体
中,
分别为
的中点,则三棱锥
的体积为
______
.
16.
定义域为
的函数
满足当
时,
,且
是奇函数,则
______
.
三、解答题:共
70
分
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
第
17~21
题为必考题,每个试题考生都必须作答
.
第
22
、
23
题为选考题,考生根据要求作答
.
(一)必考题:共
60
分
.
17.
记
的内角
的对边分别为
,已知
.
(1)
若
,求
;
(2)
若
,求
的面积
.
18.
某大型社区计划投建一个社区超市,为了解社区居民的购买习物,随机对
40
位社区居民进行了调查,得到下面列联表:
倾向于实体店的人数
倾向于网购的人数
男性
160
40
女性
100
100
(1)
能否有
99.9%
的把握认为该社区居民的购物习惯与性别有差异?
(2)若社区居民中倾向于实体店的人数占比高于
,则投建营业面积为
的超市,否则投建营业面积为
的超市.已知该社区居民中男性与女性的人数之比为
,根据上表,求所投建超市的面积
附:
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
19.
如图,在四棱锥
中,底面
是正方形,
分别为
的中点,
为线段
上一点,且
.
(1)
证明:
平面
;
(2)
若
平面
,且
,求
与
面积之比
.
20.
已知函数
.
(1)
讨论
单调性;
(2)
若
,求
.
21.
已知抛物线
的焦点为
,设
为
上不重合的三点,且
.
(1)
求
;
(2)
若
均在第一象限,且直线
的斜率为
,求
的坐标
.
(二)选考题:共
10
分
.
请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答
.
如果多做,则按所做的第一题计分
.
[
选修
4-4
:坐标系与参数方程
]
22.
在直角坐标系
中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,点
的极坐标为
,点
的极坐标为
.
(1)
求直线
极坐标方程;
(2)
设
为圆
上一点,求
到直线
距离的最大值
.
[
选修
4-5
:不等式选讲
]
23.
已知函数
.
(1)
当
时,求不等式
的解集;
(2)
若
,求
的取值范围
.
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