浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考
数学试卷
命题:浙江省杭州第二中学
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.若全集
,集合A,B及其关系如图所示,则图中阴影部分表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知
,且
,则
与
的夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
3.设
b
,
c
表示两条直线,
表示两个平面,则下列说法中正确的是( )
A.若
,则
B.若
,则
C.若
,则
D.若
,则
4.已知角
的终边过点
,则
( )
A.
B.
C.
D.
5.设等比数列
的公比为
,前
项和为
,则“
”是“
为等比数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知实数
x
,
y
满足
,且
,则
的最小值为( )
A.
B.8
C.
D.
7.已知双曲线
的左、右焦点分别为
,点
为双曲线的左顶点,以
为直径的圆交双曲线的一条渐近线于
P
,
Q
两点,且
,则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
8.在等边三角形
ABC
的三边上各取一点
D
,
E
,
F
,满足
,则三角形ABC的面积的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在学校组织的《青春如火,初心如炬》主题演讲比赛中,有8位评委对每位选手进行评分(评分互不相同),将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,则下列说法中正确的是( )
A.剩下评分的平均值变大
B.剩下评分的极差变小
C.剩下评分的方差变小
D.剩下评分的中位数变大
10.在三棱锥
中,已知
,点
M
,
N
分别是
AD
,
BC
的中点，则( )
A.
MN
⊥
AD
B.异面直线
AN
,
CM
所成的角的余弦值是
C.三棱锥
的体积为
D.三棱锥
的外接球的表面积为
11.已知函数
,则( )
A.
的零点为
B.
的单调递增区间为
C.当
时,若
恒成立,则
D.当
时,过点
作
的图象的所有切线,则所有切点的横坐标之和为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.直线
的一个方向向量是
.
13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为
,乙获胜的概率为
,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为
.
14.已知函数
及其导函数
的定义域均为
,记
,若
均为偶函数,且当
时,
,则
.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)如图,斜三棱柱
的底面是直角三角形,
,点
在底面ABC内的射影恰好是
BC
的中点,且
.
(I)求证:平面
平面
;
(II)若斜棱柱的高为
,求平面
与平面
夹角的余弦值.
16.(本小题满分15分)己知函数
,其中
.
(I)若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等,求
的值;
(II)是否存在实数
,使得
在
上的最大值是-3?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
17.(本小题满分15分)记复数的一个构造:从数集
中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复
次这样的构造,可得到
个复数,将它们的乘积记为
.
已知复数具有运算性质:
,其中
.
(I)当
时,记
的取值为
,求
的分布列;
(II)当
时,求满足
的概率;
(III)求
的概率
.
18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,我们把点
称为自然点.按如图所示的规则,将每个自然点
进行赋值记为
,例如
,
.
(I)求
;
(II)求证:
;
(III)如果
满足方程
,求
的值.
19.(本小题满分17分)在平面直角坐标系
xOy
中,过点
的直线
与抛物线
交于
M
,
N
两点
在第一象限).
(I)当
时,求直线
的方程;
(II)若三角形
OMN
的外接圆与曲线
交于点
(异于点
O
,
M
,
N
),
(i)证明:
△
MND
的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
(ii)求凸四边形
OMDN
的面积的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
B
C
A
C
A
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
题号
9
10
11
答案
BC
ABD
ACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.
(答案不唯一)
13.
14.-6
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)(第I问,6分;第II问,7分)
解:(I)取BC中点为
,连接
在底面内的射影恰好是
BC
中点,
平面
ABC
,又
平面
,
又
,
平面
平面
,
又
平面
平面
平面
.
(II)以
为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,
,
,
,
设平面
的法向量为
,
则有
,令
,则
,
设平面
的法向量为
,
则有
,令
则
,
,
平面
与平面
夹角的余弦值为
.
16.(本小题满分15分)(第I问,6分;第II问,9分)
(I)
,则
,
故曲线
在
处的切线为
,
即
,
当
时,此时切线为
,不符合要求
当
时,令
,有
,
令
,有
,故
,即
,故
(II)
,
①
当
时,
在
上单调递增,
的最大值是
,解得
,舍去;
②
当
时,由
,得
,
当
,即
时,
时,
时,
,
的单调递增区间是
,单调递减区间是
,
又
在
上的最大值为
;
当
,即
时,
在
浙江五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考试题 数学 .docx
