湖南省2024届高三九校联盟第二次联考
数
学
由
长沙市一中
常德市一中
湖南师大附中
双峰县一中 桑植县一中
武冈
市一中
湘潭市一中 岳阳市一中
株洲市二中
联合命题
炎德文化审校、制作
命题学校：长沙市一中
审题学校：双峰县一中
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名
､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上
.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一
､选择题
（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.对两个变量
和
进行回归分析，得到一组样本数据
，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ）
A.平均数 B.相关系数
C.决定系数
D.方差
2.已知
是等比数列，
是其前
项和.若
，则
的值为（ ）
A.2 B.4 C.
D.
3.关于复数
与其共轭复数
，下列结论正确的是（ ）
A.在复平面内，表示复数
和
的点关于虚轴对称
B.
C.
必为实数，
必为纯虚数
D.若复数
为实系数一元二次方程
的一根，则
也必是该方程的根
4.已知
为双曲线
上一动点，则
到点
和到直线
的距离之比为（ ）
A.1 B.
C.
D.2
5.如图，在四面体
中，
平面
，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.某银行在2024年初给
出
的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款
元，按照复利计算10年后得到的本利和为
，下列各数中与
最接近的是（ ）
A.1.31 B.1.32 C.1.33 D.1.34
7.已知函数
，若沿
轴
方向平移
的
图象，总能保证平移后的曲线与直线
在区间
上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.过点
的动直线与圆
交于
两点，在线段
上
取
一点
，使得
，已知线段
的最小值为
，则
的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二
､多选题
（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列函数的图象与直线
相切的有（ ）
A.
B.
C.
D.
10.在
中，角
所对的边分别为
，且
，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.若
，则
为直角三角形
C.若
为锐角三角形，
的最小值为1
D.若
为锐角三角形，则
的取值范围为
11.如图，点
是棱长为2的正方体
的表面上一个动点，
是线段
的中点，则（ ）
A.若点
满足
，则动点
的轨迹长度为
B.三棱锥
体积的最大值为
C.当直线
与
所成的角为
时，点
的轨迹长度为
D.当
在底面
上运动，且溚足
平面
时，线段
长度最大值为
三
､填空题
（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.对于非空集合
，定义函数
已知集合
，若存在
，使得
，则实数
的取值范围为__________.
13.已知椭圆
与双曲线
，椭圆的短轴长与长轴长之比大于
，则双曲线离心率的取值范围为__________.
14.函数
在
范围内极值点的个数为__________.
四
､解答题
（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明
､证明过程或演算步骤
）
15.（木小题满分15分）
如图所示，半圆柱的轴截面为平面
，
是圆柱底面的直径，
为底面圆心，
为一条母线，
为
的中点，且
.
（1）求证：
；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值.
16.（本小题满分15分）
猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有
A
，
B
，
C
三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000
（1）求甲按“
”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
（2）甲决定按“
”或者“
”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
17.（本小题满分15分）
已函数
，其图象的对称中心为
.
（1）求
的值；
（2）判断函数
的零点个数.
18.（本小题满分17分）
已知数列
的前
项和为
，满足
；数列
满足
，其中
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）对于给定的正整数
，在
和
之间插入
个数
，使
，
成等差数列.
（i）求
；
（ii）是否存在正整数
，使得
恰好是数列
或
中的项？若存在，求出所有满足条件的
的值；若不存在，说明理由.
19
.
（本小题满分17分）
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
的直线，直线的包络曲线定义为
：
直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若圆
是直线族
的包络曲线，求
满足的关系式；
（2）若点
不在线
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